Los 2 últimos dígitos de $7^{7^{7^7}}$

Question

¿Cuál es la forma de cálculo para encontrar la última $2$ dígitos de $7^{7^{7^7}}$? WolframAlpha muestra $...43$.

Answer 1

Vamos a ver el patrón de los dos últimos dígitos de los poderes de $7$. $$ 7^1\to07\\ 7^2\to49\\ 7^3\to43\\ 7^4\to01\\ 7^5\to07 $$ y se repite. Por lo tanto sólo tenemos que averiguar lo que el exponente es el modulo $4$. Puede continuar a partir de aquí?

Answer 2

$7^2=49=50-1$

$\implies 7^4=(50-1)^2=50^2-2\cdot50\cdot1+1\equiv1\pmod {100}$

Alternativamente, $100=4\cdot25, 7^2\equiv1\pmod 4$

y $7^2\equiv-1\pmod{25}\implies 7^4\equiv(-1)^2\pmod{25}\equiv1$

$\implies 7^{\text{lcm}(2,4)}\equiv1\pmod {4\cdot25}$ $(25,4)=1\implies 7^4\equiv1\pmod {100}$

Por lo tanto, necesitamos determinar el $7^{7^7}\pmod 4$

Como $7^7$ es impar, y $7\equiv-1\pmod4\implies 7^{7^7}\equiv-1\pmod4\equiv3$

$\implies 7^{7^7}=4n+3$ para algunos entero $n>0$

Por eso, $7^{7^{7^7}}=7^{4n+3}\equiv (7^4)^n\cdot7^3\pmod{100}\equiv1^n\cdot343$

Answer 3

Desde

$$7^{2k+1} \equiv3\pmod {4}$$ $$ 7^{7^{7^7}}\equiv3\pmod {4}$$ y $7^{3} \equiv43\pmod {100}$ & el ciclo tiene período de $4$, $7^{7^{7^7}}\equiv43\pmod {100}_\blacksquare$