Si $a,b\in\mathbb{R}, a<b$ $f:\{x\in\mathbb{R}:a<x\le b\}\to \mathbb{R}$ es una función continua, definir la integral impropia $\displaystyle\int^{b}_{+a}f(x)\,dx$$\displaystyle\lim_{y\to a}\int^b_yf(x)dx$. Mostrar que si $g$ es otro real continua con valores de la función en el conjunto $\{x\in \mathbb{R}:a<x\le b\}$ tal que $|f(x)|<g(x)$ todos los $x$ en este conjunto y $\displaystyle\int^{b}_{+a}g(x)\,dx$ existe, $\displaystyle\int^{b}_{+a}f(x)\,dx$ existe.Así que tengo que mostrar que $\displaystyle\int^{b}_{+a}f(x)\,dx$ existe, si existe un $\alpha<1$ tal que $(x-a)^{\alpha}f$ está delimitada en $(a,b)$.
Así que he a $g(x)\ge 0$ desde $|f(x)|<g(x)$ y $\displaystyle\int^{b}_{+a}g(x)\,dx = \displaystyle\lim_{y\to a}\int^b_yg(x)dx$ existe. Ahora coger $\epsilon>0$ entonces existe un $l$ tal que $\int^{l_2}_{l_1}g(x)dx<\epsilon$ todos los $l_2>l_1>l$. Desde $|f(x)|<g(x)$ tenemos $\displaystyle\int|f(x)|dx<\int g(x)dx<\epsilon$. Por lo $\displaystyle\int|f(x)|dx$ es limitada para algunos $M$. Por lo tanto, $\displaystyle\int f(x)dx<M$.
Pero, ¿cómo puedo demostrar que ese $\displaystyle\int^{b}_{+a}f(x)\,dx$ existe, si existe un $\alpha<1$ tal que $(x-a)^{\alpha}f$ está delimitada en $(a,b)$.
