Homotopía de mapas a la topología del producto

Question

Dejemos que $RP$ denota el plano proyectivo real y deja que $S$ denotan el círculo. Recientemente me encontré con una pregunta de la forma:

Prueba cada mapa $f:RP \to S\times S$ es nulo-homotópico. Sé que cada mapa $k:RP \to S$ es nulo-homotópico. ¿Es válido argumentar que $f: RP \to S\times S$ es un producto de mapas $g,h:RP\to S, x \mapsto (g(x),h(x))$ y como $g$ y $h$ son nulo-homotópicos, entonces $f$ ¿es nullhomotopic?

Answer 1

Sí, su argumento es correcto.

(Yo lo haría de la siguiente manera: dejar $f : \Bbb RP^2 \to S^1 \times S^1$ sea su mapa. Entonces el mapa inducido sobre grupos fundamentales $\pi_1 f : \Bbb Z/2 \to \Bbb Z^2$ es el mapa cero, ya que $\Bbb Z^2$ es libre de torsión. Así, por el lema de elevación de mapas, se puede elevar $f$ a la cubierta universal para obtener un mapa $\widetilde{f} : \Bbb RP^2 \to \Bbb R^2$ . Como $\Bbb R^2$ es contraíble, esto es nullhomotopic. Empujar la homotopía al espacio base para concluir que $f$ es nullhomotopic)