La notación en Sacks Superior de la Teoría de la Recursividad'

Question

Estoy teniendo problemas con la notación en Sacos de' Mayor la Teoría de la Recursividad. Le he pedido a preguntas específicas de la página 4. En lugar de leer mi pregunta en detalle y tratando de entender mi confusión (que se agradece), podría acabo de leer el blockquotes abajo y me dicen exactamente lo que se supone que significa en el "diario" el lenguaje matemático.

Sacos escribe

Un predicado $R(f,x)$ es recursivo si hay un $e$ tal forma que:
(i) $(f)(x)[\{e\}^{f}(x) \text{ is defined}]$
(ii) $(f)(x)[R(f,x) \leftrightarrow \{e\}^{f}(x)=0]$

¿Cuál es el propósito o la función de la $(f)(x)$ al comienzo de cada uno de los elementos (i) y (ii)? Parece que el propósito es para denotar que son variables libres, pero luego dice:

Así
$$ \begin{equation} (Ex)(f)(Eg)R(x,y,f,g,h) \text{ and } (Ef)(h)S(f,h,z) \tag{1} \end{equation} $$ son analíticos si $R$ $S$ son recursivos.

Si mi hipótesis acerca de variables libres es correcta, entonces me pregunto por qué no hay $(h)(y)$ $(Ex)(f)(Eg)R(x,y,f,g,h)$ (y lo mismo para el segundo conjunto). (Yo en negrita, lo que se pretende implícita una pregunta; si alguien quisiera hacer explícito, lo haré.)

Finalmente, el Teorema 1.3 lee

Si $P(f,x)$ es analítico, entonces se puede poner en una de las siguientes formas: $$ (Eg)(y)R(f,x,g,y), \quad (Eg)(h)(Ey)R(f,x,g,h,y)\ldots $$ $A(f,x)$ $$ (g)(Ey)R(f,x,g,y), \quad (g)(Eh)(y)R(f,x,g,h,y)\ldots $$ donde $A$ es la aritmética y $R$ es recursiva.

¿Por qué es el $A(f,x)$ justificados a la izquierda y en su propia línea?

Answer 1

$(f)$ significa "para todos $f$", $(Ex)$ significa que "existe una $x$". Eso debería aclarar la primera pregunta. Estamos diciendo: Llamar a un índice $e$ total iff no importa lo $f,x$, $\{e\}^f(x)$ está definido. A continuación, $R$ es recursivo iff hay un total $e$ tal que, para cualquier $f,x$, $R(f,x)$ tiene iff $\{e\}^f(x)=0$.

En (1), $y,h,...$ a ser libre de las variables, por lo que no son la cuantificación sobre ellos. En el Teorema 1.3, Sacos, es decir: Si $P(f,x)$ es analítico, entonces hay una media aritmética $A$ tal que $P(f,x)$ fib $A(f,x)$, o sea recursiva $R$ tal que $P$ se puede poner en una de las siguientes formas... y luego describe las dos listas infinitas de formas posibles. En los que están en la parte superior, las declaraciones son el cuantificador existencial, en otros, las declaraciones son universales.