Es el proyectiva resolución de este artinian módulo finito?

Question

Supongamos $\Delta(n,k)$ es el álgebra de triangular superior $n$ $n$ matrices sobre un campo $k$. Además, vamos a $M$ es un artinian módulo a través de $\Delta(n,k)$, y vamos a $$ \cdots\a C_n\stackrel{d_n} {\,} C_{n-1}\\cdots\a C_1\stackrel{d_1} {\,} C_0\stackrel{\epsilon} {\,} M\0 $$ ser un proyectiva resolución de $M$, lo $\epsilon$ es un homomorphism y $\epsilon d_1=0$.

Editado: con Base en los comentarios que he recibido, estoy tratando de revisar la cuestión a algo menos abstracto. Aunque ahora veo que la proyectiva de la resolución no necesita ser finito, es siempre posible truncar a producir una resolución proyectiva de la longitud de los dos? ¿Hay alguna justificación para ello, o he entendido mal lo que he dicho?

Gracias.

Answer 1

Una forma de ordenar de lado la construcción de la aljaba y todo es para mostrar que todos los ideales de la izquierda en su álgebra son proyectivos, en otras palabras, que el álgebra es hereditaria.

A partir de esto, es fácil ver que las resoluciones son de longitud $1$ (a partir de cero!!!)

Answer 2

Su álgebra es isomorfo a la ruta de álgebra de un temblor de tipo $A_{n-1}$. Carcaj álgebras son hereditarias: submódulos de módulos proyectivos son proyectivos. De este modo mínimos proyectivas de las resoluciones de la no-proyectiva módulos tienen la longitud dos.