Ampliar fuertemente conjuntos convexos

Question

Deje $(M,g)$ ser una de Riemann colector y $S\subset M $ abierta y fuertemente convexa, es decir, cualquiera de los dos puntos $p,q\in \bar S$ están conectadas por un único minimizar geodésica con el interior completamente acostado en $S$.

Pregunta: ¿existe un abierto de vecindad $S'$ $\bar S$ que también es fuertemente convexo?

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Para los conjuntos que son meramente convexo esto no es cierto. Por ejemplo abrir un hemisferio de $S^2$ no puede ser ampliada sin perder la convexidad. La fuerte conjuntos convexos de $S^2$ por otro lado, tienen a su cierre estrictamente contenida en un hemisferio y por lo tanto, obviamente, puede ser ampliada a una nueva fuertemente conjunto convexo. Esta foto (que me puede la imagen en otras superficies) me lleva a la suposición de que la pregunta tiene una respuesta positiva.

Fuertemente conjuntos convexos son totalmente normales, (es decir, por cada punto de $p\in S$ no es un conjunto abierto $V\subset T_pM$ tal que $\exp_p\colon V\rightarrow S$ es un diffeomorphism). Mi primera idea fue, primero, encontrar una $S''\supset \bar S$ totalmente normal y, a continuación, intente restict a un estricto conjunto convexo. Pero sólo trabajando con total normalidad, no pueden trabajar: $S^2 \backslash p_0$ es totalmente normal, pero no puede ser extendido a un mayor totalmente normal establecido. Lamentablemente no sé cómo de fuerte convexidad puede ser incorporada desde el inicio.

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Edición (17 de Marzo): Aquí es un falso contraejemplo, que fue publicado como un (ahora suprimido) respuesta. Me parece interesante neverletheless: Vamos a $M=\{(x,y)\vert y>-e^x\}\subset \mathbb{R}^2$ $S$ el abierto de la mitad superior del plano (que sólo es convexo y no fuertemente convexa). Si $S'$ es un conjunto abierto que contiene a$\bar S$, $(0,-\epsilon)\in S'$ algunos $\epsilon >0$. Tome $x> 0$ tan grande que $\epsilon> xe^{-x+1}$, entonces la línea recta entre el $(-x,0)$ $(0,-\epsilon)$ contiene el punto de $(-x+1,-\epsilon/x)$, que se encuentra fuera de $M$. En particular, $S'$ no puede ser convexo.

Answer 1

Yo creo que se puede conseguir un ejemplo de la toma de la $M$ a ser el paraboloide elíptico $z=x^2+y^2,$ con la métrica de Riemann procedentes de $\mathbb R^3,$ $S=\{p\in M\mid p_z<C\}$ para un determinado constante $C.$

$C$ debe ser elegido de modo que hay que conjugar los puntos de la mentira en el límite de $S.$ Hay una descripción de la conjugado puntos en "Ejemplo para conjugar puntos con sólo una conexión geodésica" y una descripción de la geodesics en do Carmo "Geometría Diferencial de Curvas y Superficies", en términos de Clairaut de la relación. Los conjuntos de $\{p\in M\mid p_z\leq c\}$ son geodesically convexo para cualquier $c,$ con la minimización de geodesics pasando a través de $p_z<c,$ y el minimizers son únicos para $c\leq C.$ Como se discutió en la que el MSE respuesta he ligado, este es un ejemplo de que hay que conjugar los puntos que no vengo de una familia de geodesics.

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Para mostrar la firme convexidad:

• Por Clairaut de la relación, si representamos un no-meridiano geodésico de coordenadas, $(r(t)\cos \theta(t),r(t)\sin\theta(t), r(t)^2),$ $\theta(t)$ puede ser elegida para ser una función creciente, y $dr/d\theta$ es algunos analítica de la función $f(r,\theta,c).$

• Por el teorema de identidad para funciones analíticas, no puede haber un continuo familia de geodesics que pasa a través de dos puntos.

• Reducir a un mínimo la geodésica se comporta racionalmente en términos de longitudes. Si geodésica que va desde polares coordenadas $(r_1,\theta_1)$$(r_2,\theta_2)$$\theta_2>\theta_1+\pi,$, reflejando en el meridiano de ir a través de las longitudes $\theta_1,\theta_1+\pi,$ podemos obtener una nueva curva que permanecer dentro de la gama de ángulo de $[\theta_1,\theta_1+\pi].$ Por el suavizado de esta curva ligeramente tenemos un corto de la curva. Por lo que el original geodésica no podría haber sido minimizar. Esto significa que tiene sentido para representar geodesics en polar de coordenadas.

• Supongamos por contradicción que hay distintos puntos de $p,q$ $\overline{S}$ acompañado por dos minimizar geodesics. Pick $p_z<C$ si es posible, y si los dos puntos se pueden unir por un meridiano, a continuación, elegir este como uno de los geodesics - esto permite una constante elección de polar de coordenadas. A partir de $p,$ disparar una geodésica en un ángulo dividiendo los dos geodesics. Esto va a golpear a uno de los dos originales geodesics. Esto significa que conseguir un nuevo par de geodesics entre dos puntos. El nuevo extremo debe ser $q,$ porque de lo contrario tendríamos un par de geodesics entre dos puntos de contradecir a la elección de $C,p,q.$ Este tipo de construcción produce una familia de geodesics entre el $p,q,$ contradiciendo el hecho de que no hay ninguna continuo a las familias de geodesics unirse a $p,q.$