Hallar el número de maneras de organizar las letras

Question

Hallar el número de maneras de organizar las letras $\text{AAAAA, BBB, CCC, D, EE & F}$ en una fila si no hay dos $\text{C's}$ están juntos?

Mi Intento:

Bueno, yo debo llegar a la respuesta si me restar los casos en los que el 3 $\text{C's}$ y 2 $\text{C's}$ aparecen juntos del total.

Total de posibilidades de $= \frac{15!}{5!3!3!2!}$

Total de posibilidades donde el 3 $\text{C's}$ aparecer $=\frac{13!}{5!3!2!}$

Sin embargo, no soy capaz de encontrar las posibilidades de un 2 $\text{C's}$ estar juntos y llegar a la respuesta.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Ignorar la C, por el momento, y organizar el resto de las letras. Hay $\frac{12!}{5!3!2!}=332640$ maneras de hacer esto.

Ahora, considere el trece espacios entre y más allá de las letras – en la mayoría de los C uno puede ser insertado en cada espacio, así que dado un arreglo de las otras cartas que hay $\binom{13}3=286$ formas de agregar C.

El número total de combinaciones admisibles es lo $332640×286=95135040$.

Answer 2

Pruebe con un enfoque más sencillo, empezar a contar con él número de maneras que usted puede organizar todas las letras excepto C. es:

$$\frac{12!}{5!3!2!}$$

ahora hay 13 lugares para poner la C es donde ellos no van a estar uno al lado del otro, entonces, la respuesta es:

$$\frac{12!}{5!3!2!} \binom{13}{3}$$

Answer 3

Aunque yo prefiero el enfoque explica por Alaleh Una y Parcly Taxel, aquí es cómo se puede solucionar el problema a través de la Inclusión-Exclusión Principio.

El número de distinguible de los arreglos de $5$, $3$ B, $3$ C, $1$ D, $2$ Es e $1$ F $$\frac{15!}{5!3!3!1!2!1!}$$ como se encontró.

De estos, debemos restar aquellos acuerdos en los cuales un par de Cs son adyacentes.

Un par de Cs son adyacentes: Tenemos $14$ objetos para organizar, $5$, $3$ B, $1$ CC, $1$ C, $1$ D, $2$ Es e $1$ F. pueden ser organizados en $$\frac{14!}{5!3!1!1!1!2!1!}$$ maneras.

Sin embargo, si restamos $\frac{14!}{5!3!1!1!1!2!1!}$ del total, le han restado mucho ya que le han restado cada arreglo con dos pares adyacentes Cs dos veces (tales acuerdos tienen tres consecutivos Cs), cuando una vez designados los dos primeros Cs como el par adyacente y una vez, cuando hemos designado a los dos últimos Cs como el par adyacente. Desde sólo queremos restar dichos acuerdos, una vez, se les debe agregar la espalda.

Dos pares adyacentes Cs: Como se mencionó anteriormente, esto significa que las tres Cs son consecutivos. Por lo tanto, tenemos $13$ objetos para organizar, $5$, $3$ B, $1$ CCC, $1$ D, $2$ Es e $1$ F. El número de este tipo de acuerdos es $$\frac{13!}{5!3!1!1!2!1!}$$ como se encontró.

Por lo tanto, el número de acuerdos de $5$, $3$ B, $3$ C, $1$ D, $2$ Es e $1$ F en la que no hay dos Cs son consecutivos es $$\frac{15!}{5!3!3!1!2!1!} - \frac{14!}{5!3!1!1!2!1!} + \frac{13!}{5!3!1!1!2!1!}$$

Answer 4

Deje $n_1$ ser todas las letras excepto C ($=12$)y $n_2$ Cs ($=3$). Voy a generalizar la solución de tal manera que usted no tiene dos C juntos (p=0), C dos juntos (p=1) y tres C juntos (p=2)

Cada pareja debe tener una mano izquierda miembro, que podemos elegir entre cualquiera de los Cs, excepto la última: $\tbinom{n_2-1}{p}$. Esto creará $n_2-p$ bloques de Cs, que podemos distribuir en el $n_1+1$ ranuras entre y alrededor de los no-Cs: $\tbinom{n_1+1}{n_2-p}$. Por lo tanto el número de arrangemenets con exactamente $p$ pares es $\tbinom{n_2-1}{p}\tbinom{n_1+1}{n_2-p}.\frac{n_1!}{5!.3!.2!}$

Para p = 0 en la pregunta

$$\tbinom{3-1}{0}\tbinom{12+1}{3-0}.\frac{12!}{5!.3!.2!}$$

$$\tbinom{2}{0}\tbinom{13}{3}.\frac{12!}{5!.3!.2!}$$