Si $1!+2!+\dots+x!$ es un cuadrado perfecto, entonces el número de posibles valores de $x$ es?

Question

Si $1!+2!+\dots+x!$ es un cuadrado perfecto, entonces el número de posibles valores de $x$ es?

Me miró de una forma general de una ampliación de un factorial de la serie, pero yo no era capaz de encontrar uno, sin que yo no conozco ninguna otra forma de abordar este problema.

Toda la ayuda es apreciada.

Answer 1

Sugerencia:

Deje $$a_n = \sum_{j=1}^nj!$$

Sabiendo que para $j\ge 5$, el plazo $j!$ va a terminar con $0$, ya que el producto contiene ambos $2$ $5$ debe ser straighfroward para usted para mostrar que $$a_n = 33 + \sum_{j=5}^n j!$$

Esta suma, por tanto, termina con dos dígitos $3$.

Gran Sugerencia

Es fácil comprobar que no cuadrado perfecto puede terminar con dos dígitos $3$ (es decir, mediante la comprobación de todas las plazas $\mod 10$). Esto demuestra que $a_n$ no es cuadrado perfecto para $n\ge 4$.