Solucionar $2^x+7=y^2$ por entero $(x,y)$

Question

Cuántos ordenó soluciones de $(x,y)$ están allí para la ecuación de $2^x+7=y^2$ donde $x$ $y$ son enteros?

Traté de tomar los casos de $x$ $y$ como son pares o impares, pero no pude resolver más.

Answer 1

SUGERENCIA:

Primero de todo, si $x<0,$ el Lado Izquierdo no se quede entero a diferencia de la de la Derecha.

Ahora, tenemos $\displaystyle 2^x+6=y^2-1=(y-1)(y+1)$

Observar que $\displaystyle y+1-(y-1)=2\implies y\pm1$ tienen la misma paridad

Si ambos son impares $2^x$ debe ser impar $\implies x=0$ (por favor, prueba de $x=0$)

Si ambos están incluso el Lado Derecho es divisible por $4$

Para $x\ge2, 2^x\equiv0\pmod4\iff 2^x+6\equiv2\pmod4\implies x<2$

Answer 2

Dado: $2^x+7=y^2$
Desde $L.H.S.$ es impar, $R.H.S$. debe ser impar.
Poner a $y=2m+1$,
$2^x+6=4m^2+4m$,
o $2^{x-1}+3=2m^2+2m$
esto obliga a $x=1$
poniendo en la ecuación original, obtenemos $y=3$ $y=-3$
Así pues, tenemos soluciones de $(1,3)$ $(1,-3)$

Answer 3

Para $x \geq 2$, el lado izquierdo es $3 \pmod{4}$, mientras que el lado derecho sólo puede ser $0, 1 \pmod{4}$. Comprobar con la mano para que los valores de $x = 0, 1$.