A veces me resulta difícil entender lo que parece un grupo.
Por ejemplo, el grupo diédrico D5D5 es fácil de visualizar cuando lo pienso como un "producto" de dos grupos cíclicos C2 y C5 .
Sin embargo, no tengo ni idea de cómo A5 parece. Sé que es la "mitad" del grupo de simetría S5 y tiene 60 elementos, pero eso es todo lo que sé.
Entonces, ¿hay una forma de expresar cada grupo finito de forma única como un producto de grupos "fáciles"? (No quería decir simple en lugar de fácil porque simple ya tiene una definición)
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No creo que haya un teorema que caracterice a los grupos de esa manera. Pero en el caso de los grupos abelianos; se pueden escribir como producto directo de grupos cíclicos.
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D5 no es un producto tan directo como ese, pero estás en algo. Es un producto semidirecto de los grupos que mencionas. es.wikipedia.org/wiki/Producto semidirecto
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Lo más cercano que tiene es el Teorema de Jordan-Holder que dice que todo grupo finito puede construirse, en cierto sentido, a partir de grupos simples. Pero desgraciadamente eso hace que A5 uno de sus grupos "fáciles".
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@mt_ Eso era lo que iba a decir... Aquí los objetos irreductibles son los grupos simples (algunos de los cuales están lejos de ser simples). Pero los medios para combinar las partes componentes también son más complicados: los productos semidirectos no siempre funcionan.
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Todos los grupos finitos solubles (y solubles es necesario) tienen un Base de sílice es un conjunto de subgrupos Sylow permutables por pares de G, uno por cada divisor primo. Las bases de Sylow son únicas hasta la conjugación (simultánea), por lo que existe una especie de factorización única para los grupos solubles. Pero esto deja abierto el problema de entender p -grupos por un lado y grupos no resolubles (especialmente los simples no abelianos) por el otro.