Hoy en día un amigo me dijo el de la igualdad: $2^3 + 1 = 3^2$, y me preguntaba si hay más soluciones para el problema general $$x^y + 1 = y^x$$ where $x$ and $s$ are integers. Some research led me to the result for $x^y = y^x$, which has no integer solutions except $x = 2$ and $y = 4$ (assumed $x\neq y$). Es esta una relacionada con el resultado, o hacer más entero soluciones existen?
Respuesta
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Consideramos que sabía función de $ f:(0,\infty)\rightarrow R,f(x)=(1+\frac{n}{x})^x$es estrictamente creciente y $f(x)<e^n$.
I.$x<y, y=x+n, n>0$, entero
$x^y+1=y^x =>x^{x+n}+1=(x+n)^x=>x^n+\frac{1}{x^x}=(1+\frac{n}{x})^x<e^n=>$ $x<e=>x=1, x=2.$
Para $x=1=>y=2.$
Para $x=2=>2^y+1=y^2=>y=3.$
II. $x>y, x=y+k, k>0$, entero, con la idea de la situación que obtener la ecuación no tiene solución distinta de $(1,0)$.
El mismo método puede resolver las ecuaciones:
$1) x^y=y^x$
$2) x^y+y=y^x+x$
$3) x^y+x=y^x+y$
donde $x>0,y>0$ enteros.
