Un identificador de archivo adjunto es el proceso de pegar una copia de $D^k\times D^{n-k}$$\partial X$. Un (normal) enmarcado da una receta para realizar un encolado, especificando (arriba a la isotopía) un collar de $\partial D^{k}\times \{0\}$$X$. Gompf-Stipsicz expresar este tipo de datos como:
- Una incrustación $\varphi_0\colon\, S^{k-1}\to\partial X$ con trivial normal en paquete.
- Una identificación de la normal bundle $\nu\varphi_0(S^{k-1})$$S^{k-1}\times \mathbb{R}^{n-k}$.
La afirmación hecha en el párrafo que confunde es que el conjunto de "framings" es una $\pi_{k-1}(O(n-k))$ torsor. Eso significa que es como en el grupo $\pi_{k-1}(O(n-k))$, a excepción de que no tiene una opción de punto de base. Así que la identificación de un encuadre con un elemento de $\pi_{k-1}(O(n-k))$ no es significativo en general, pero se puede identificar una diferencia entre "framings" con un elemento de $\pi_{k-1}(O(n-k))$. Así que este es un ejemplo arquetípico de un torsor. Juan Báez escribió una excelente exposición de torsors, que recomiendo: http://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html
Así arbitrariamente elegir un encuadre $f_0$ a ser el "punto de base'. El objetivo es identificar a $f\circ f_0^{-1}$ con un elemento de $\pi_{k-1}(O(n-k))$. A priori, en cualquier punto en $S^{k-1}$, el mapa de $f\circ f_0^{-1}$ es una transformación lineal invertible de $\mathbb{R}^{n-k}$ a sí mismo, por lo tanto un elemento de $GL(n-k)$. El mapa de $f\circ f_0^{-1}$ es un diffeomorphism, por lo que el elemento de $GL(n-k)$ varía suavemente como podemos cambiar suavemente el punto en $S^{k-1}$.
Ahora a la oración, que es confuso. En preasignada basepoint $p\in S^{k-1}$, mapa de $f\circ f_0^{-1}$ toma como valor de la matriz, que vamos a llamar a $M$. El grupo $GL(n-k)$ tiene dos componentes conectados - matrices con determinante positivo y matrices con negativo determinante. Así, mediante un golpe de función, usted puede construir una diffeomorphism de el segundo factor de $D^k\times D^{n-k}$ lo que equivale a la multiplicación por $M^{-1}$ en un barrio de $U$$p$, y es igual a $\pm \mathrm{id}$ fuera de la clausura de una mayor vecindad $V\supset U$ $p$ (dependiendo de si el determinante de a $M$ fue positivo o negativo). Después de componer con una diffeomorphism, te dejan con un mapa de $S^{k-1}$ a $GL(n-k)$ que es igual a la matriz identidad en $p\in S^{k-1}$. I. e. te deja con un elemento de $\pi_{k-1}(GL(n-k))$.
Finalmente, las bacterias Gram-Schmidt toda la historia de retraer $GL(n-k)$ a $O(n-k)$. Esta es la norma, pero una buena exposición de los detalles que existe en algunos lugares. Por ejemplo, Thurston explica la mecánica de esta deformación se retracte en 3 Dimensiones, Geometría y Topología en la página 204.
Y listo! En realidad es bastante simple y elegante, una vez que se trabaja a través de él, a pesar de algunas buenas ilustraciones haría aún más.
