El universal propiedad implica que el mapa debe ser un uno-a-uno conjunto teórico mapa.
Para ver esto, vamos a $a,b\in S$ ser tal que $g(a)=g(b)$. Deje $G$ ser un grupo no trivial (por ejemplo, $G=C_2$, el grupo cíclico de orden $2$) y deje $g\in G$ ser un elemento no trivial. Deje $f\colon S\to G$ ser definido por
$$f(s) = \left\{\begin{array}{ll}
1 & \text{if }s\neq a,\\
g &\text{if }s=a.
\end{array}\right.$$
Por el universal de la propiedad, existe un grupo de homomorphism $\varphi\colon F\to G$ tal que $f=\varphi\circ g$. En particular, $f(b) = \varphi(g(b)) = \varphi(g(a)) = f(a) = g$, por lo tanto $b=a$ (ya que el único elemento de $S$ que se asigna a $g$$f$$a$).
Por lo tanto, $g$ es uno-a-uno.
Una vez que usted sabe que es uno-a-uno, usted puede reemplazar $S$ $g(S)$ y la consideran la inclusión, desde el universal, la propiedad también ofrece:
Teorema. Deje $S$ $T$ se establece, y deje $f\colon S\to T$ ser un bijection. Si $(g,F_S)$ $(h,F_T)$ libre de grupos en $S$ y en $T$, $f$ induce un único isomorfismo $\Phi\colon F_S\to F_T$ tal que $\Phi\circ g = h$ $\Phi(g(s)) = h(f(s))$ todos los $s\in S$.
Prueba. Uso de la característica universal de $(g,F_S)$ $h\circ f$ obtener $\Phi$. A continuación, utilice la característica universal de $(h,F_T)$ $g\circ f^{-1}$ obtener un mapa $\Psi$. Por último, el uso de la singularidad de la cláusula de la definición para demostrar que $\Phi\circ\Psi$ $\Psi\circ\Phi$ son de la identidad correspondiente morfismos. $\Box$
Así que puede sustituir a un grupo libre en $S$ $(g,F_S)$ con el grupo libre $(\iota,F_{g(S)})$ que es gratis en $g(S)$, y que es canónicamente isomorfo a $(g,F_S)$.
