Estoy buscando una prueba del hecho de que en una categoría regular un cuadrado conmutativo de epimorfismos regulares que es un pullback es también un pushfoward.
Respuesta
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Dejemos que $f' : A' \to B'$ , $v : A' \to A$ , $w : B' \to B$ , $f : A \to B$ forman un cuadrado de retroceso, y dejemos que $K (f')$ , $K (v)$ , $K (w)$ , $K (f)$ sean los respectivos pares de núcleos. No es difícil demostrar que $K (v)$ es el retroceso a lo largo de $f'$ de $K (w)$ y $K (f')$ es el retroceso a lo largo de $v$ de $K (f)$ y así tenemos epimorfismos regulares $K (v) \to K (w)$ y $K (f') \to K (f)$ . Supongamos que tenemos morfismos $h : A \to C$ y $u : B' \to C$ haciendo que el cuadrado evidente conmute. Entonces, considerando un diagrama conmutativo apropiado, vemos que $h : A \to C$ debe tener en cuenta $f : A \to B$ y $u : B' \to C$ debe tener en cuenta $w : B' \to B$ . Desde $v : A' \to A$ y $f : A \to B$ son epimorfismos, los dos morfismos $B \to C$ que obtenemos son de hecho iguales. Es claramente el único que hace conmutar el diagrama obvio, y por lo tanto el cuadrado de retroceso con el que empezamos es también un cuadrado de retroceso.
