¿$\pi$ Satisface la ley del logaritmo iterado?

Question

Es ampliamente conjeturó que $\pi$ es normal en base $2$.

Pero, ¿qué acerca de la ley del logaritmo iterado?

Es decir, si $x_n$ $n$th dígito binario de $\pi$, parece probable (a partir de experimentos informáticos, por ejemplo) que los siguientes se mantiene? $$\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{S_n }{\sqrt{n\log\log n}}=\sqrt{2}\quad\text{where}\quad S_n=2(x_1 + \ldots + x_n) - n$$

¿Qué acerca de otros (conjetura) del número normal como $e$$\sqrt{2}$?

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Lo siento si esto es demasiado fácil, pero he tratado de buscar y no he podido encontrar en el Internet. Supongo que me podría ejecutar un experimento a mí mismo, pero asumí que esto es bien conocido, y yo tendría que repasar mis habilidades de programación para hacerlo...

Actualización 8/9/2013:

He encontrado una página web con la primera de 32.000 dígitos binarios de $\pi$ e (utilizando un programa de hoja de cálculo) graficar el promedio de los bits $S_n/n$, en comparación a $\sqrt{\frac{2 \log \log n}{n}}$. Los resultados no fueron concluyentes. El promedio nunca se acercó a $\sqrt{\frac{2 \log \log n}{n}}$ (excepto en el principio, cuando no había pasado). Sin embargo, yo tuve el mismo resultado con una fuente de aleatoriedad (la que está integrada en el programa de hoja de cálculo). Mi conclusión es que de 32.000 bits no es suficiente para ver si la ley del logaritmo iterado (experimentalmente) tiene por $\pi$. (La foto en el artículo de la Wikipedia usa, al menos, $10^{50}$ bits, y el patrón es claro en torno $10^{12}$ bits. Sin embargo, no sé de dónde obtener 1.000.000 de dígitos binarios de $\pi$ en el de Internet.

[Actualización]

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También, siento que yo realmente no sé cómo etiquetar correctamente este.

Answer 1

Me gustan los d esto hace dos años y recientemente se tropezó con ella de nuevo. Aquí está el código que escribí para responder a esta numéricamente.

• La línea de puntos es $\sqrt{2 \log\log n/n}$
• La línea sólida es $S_n/n$
• $S_n = 2 \sum_{k=1}^n x_k - n$ donde $x_k$ es el k-ésimo dígito decimal de Pi en binario.

Usted debe ser capaz de ampliar ejecutando el código. Usted necesitará matplotlib y numpy. He utilizado y-triturador para generar los dígitos.

Answer 2

No estoy seguro de si esta es la respuesta que usted está buscando (o si quieres algo más computacional específicamente para $\pi$), pero si un número es normal en la base 2, entonces la suma de $S_n$ que definió por encima de la voluntad de satisfacer la ley del logaritmo iterado.

En primer lugar, vamos a $X_i$ $i$th dígito binario. Suponiendo normalidad, los dígitos $X_i$ son iid y $X_i\sim\text{Bernoulli}(1/2)$. A continuación, vamos a $Y_i = 2X_i-1$. En consecuencia, $\mathrm{EY_i=0}$, $\text{Var}(Y_i)=1$, y $S_n = Y_1+\ldots+Y_n$. En consecuencia, $$ \mathrm{P}\left( \limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{S_n}{\sqrt{2n\log\log n}}=1 \right)=1. $$ Este resultado, al que acompaña la prueba, que se basa en el resultado para el movimiento Browniano y Skorokhod la incrustación, se puede encontrar en la Sección I. de 16 de Rogers y Williams Diffusions, Procesos de Markov y Martingales: Volumen 1.

En general, si un número es normal en base $b$, luego los dígitos $X_i$ tienen una distribución uniforme discreta en $0,1,2,\ldots,b-1$. Por lo tanto, $\mathrm{E}X_i=\frac{1}{2}(b-1)$$\text{Var}(X_i) = \frac{1}{12}(b^2-1)$. Por lo tanto, la configuración de $$ Y_i = \frac{2\sqrt{3}\left(X_i-\frac{1}{2}(b-1)\right)}{\sqrt{b^2-1}}, $$ da $Y_i$ cero la media y la varianza la unidad. La suma de los $Y_i$ $$ S_n = \sum_{i=1}^n Y_i = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{b^2-1}}\sum_{i=1}^n X_i -n\sqrt{3}\sqrt{\frac{b-1}{b+1}}, $$ una vez más, satisface la ley del logaritmo iterado.