Es el espacio dual de un subespacio de un espacio vectorial simplemente su complemento ortogonal? Mi profesor parece utilizar los términos indistintamente, pero de Wikipedia parecen ser bastante diferentes conceptos (como el doble de los espacios son mucho más complicados y la participación funcionales).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $W \subset V$ es un subespacio e $W^\perp$ su complemento ortogonal, tenemos una suma directa dedescomposición $$V\cong W\oplus W^\perp.$$
Esto es cierto para cualquier subespacio $W'$ complementarios a $W$, por definición. Ya que son dos piezas que en conjunto se combinan para hacer de todo, y el ortogonal del complemento, en particular, es una intuitiva opción de complementar, en cierto sentido, es cierto que $W^\perp$ es "dual" a $W$.
Sin embargo, ya hay un espacio vectorial de construcción llamado el "doble espacio vectorial," indicaba $V^\vee$.
Este es el espacio vectorial lineal de los mapas de $V\to k$ (donde $k$ es el campo de la $V$ se define más). La razón de esto es un espacio vectorial es, para cualquier $\alpha,\beta\in k$$\mu,\lambda\in V^\perp$, nos encontramos con $\alpha\mu+\beta\lambda\in V^\perp$ es lineal en el mapa también.
Se llama el doble porque hay un categóricamente natural isomorfismo $V\cong V^{\vee\vee}$ (a la derecha es el doble de la doble espacio). Los detalles de la categoría de la teoría podría estar fuera de lugar aquí, pero baste decir que no hay camino para la construcción de un isomorfismo $V\cong V^{\vee}$ sin un sistema de coordenadas para $V$, mientras que es fácil exhibir un isomorfismo para el doble doble. Para cualquier $v\in V$, podemos definir la evaluación "mapa" que envía el lineal funcional $\lambda:V\to k$ $\lambda(v)$(es decir, el intercambio de la función de función y argumento: los vectores de la ley funcionales en lugar de a la inversa.)
Dada una base $\{e_i\}$ $V$ (finito-dimensional) sin embargo, podemos construir un isomorfismo $V\cong V^\perp$ utilizar eficazmente el producto escalar. Nos puede enviar un $v\in V$ el lineal funcional $w\mapsto v\cdot w$. En la otra dirección, si $\lambda(w)$ es un funcional lineal es determinado por los valores de $\lambda_i:=\lambda(e_i)$, debido a que por la linealidad $\lambda\big(\sum_i w_i e_i\big)=\sum_i w_i\lambda(e_i)$, con lo que la escritura $\vec{\lambda}=(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$, nos encontramos con que $\lambda(w)=\vec{\lambda}\cdot w$.
Esto es realmente una expansión de Qiaochu comentario, con una rápida descripción de la doble espacio.
