Determinar si un mapa en un espacio es continuo comprobando en un subconjunto denso

Question

Hace poco leí una demostración de algo que me había dicho mi profesor de cálculo, a saber, que el conjunto de mapas continuos $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tenía la cardinalidad de $\mathbb{R}$ . La prueba era bastante sencilla: Debe haber al menos ese número, ya que incluye todos los mapas constantes, pero no puede haber más porque podemos mapear inyectivamente los mapas continuos en $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}$ por $\phi : f \mapsto (f(q))_{q \in \mathbb{Q}}$ y $\mathbb{R}^{\mathbb{Q}}$ tiene la misma cardinalidad que $\mathbb{R}$ ya que esto es suficiente para determinar el valor de $f$ en cualquier valor real tomando $f(x) = \lim_{q \to x, q \in \mathbb{Q}} f(q)$ es decir, suponiendo que el mapa sea continuo.

Pero también está lo siguiente: Dejemos que $g: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ sea dada por \begin{align*} g(x) & = \begin{cases} 0, & x < \sqrt{2} \\ 1, & x > \sqrt{2} . \end{cases} \end{align*} Entonces $g$ es continua en $\mathbb{Q}$ pero no se extiende a un mapa continuo en $\mathbb{R}$ . Así que mi pregunta es: ¿Hay una manera de determinar si un mapa $g : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ se extiende a un mapa continuo $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ?

Gracias.

Answer 1

La respuesta en términos de secuencias de Cauchy es correcta. Una condición que puede ser más fácil de usar es esta: La función $g:\Bbb Q\to \Bbb R$ se extiende a una función continua $f:\Bbb R\to\Bbb R$ si y sólo si para cada $a,b\in\Bbb R$ con $a<b$ la restricción de $g$ a $\Bbb Q\cap [a,b]$ es uniformemente continua.

La necesidad es clara, ya que sabemos que $f$ debe ser uniformemente continua en $[a,b]$ . Por otro lado, es un hecho general que una función uniformemente continua en un conjunto $E$ contenida en algún espacio métrico se extiende a una función continua sobre el cierre de $E$ . (Y está claro que si $f$ es continua en $[a,b]$ para todos $a,b$ entonces $f$ es continua).

Answer 2

Es necesario y suficiente que para cualquier secuencia de Cauchy $\{x_n\}$ de números racionales, la secuencia de $\{f(x_n)\}$ también es Cauchy.

Como los números reales son la terminación de los números racionales, si una secuencia en los números racionales converge (es decir, es Cauchy), entonces converge a un número real, y se necesitan los valores de $f$ para converger también (por lo que también debe ser Cauchy).