Por ejemplo, si tengo el sistema,
$$ y'+y=3x \\ y'-y=x $$ Yo podría usar eliminación a menos de la parte superior de la ecuación de la parte inferior para obtener una,
$$ 2y=2x \\ y=x $$
Lo cual es evidentemente falso, ya que entonces, $1+x=3x$ que es mala.
Así que ¿por qué no eres capaz de utilizar la eliminación en la solución de un sistema de primer orden ecuaciones diferenciales?
La equivalencia es realmente entre estos sistemas de ecuaciones $$ \left\vert \begin{matrix} y' + y = 3x \\ y' - y = x \end{de la matriz} \right\vert \iff \left\vert \begin{matrix} y' + y = 3x \\ y = x \end{de la matriz} \right\vert \iff \left\vert \begin{matrix} y' - y = x \\ y = x \end{de la matriz} \right\vert $$ así que tu error es que se le cayó una de las ecuaciones originales, lo que conduce a un mayor conjunto de soluciones de las que debería.
No obstante lo anterior la equivalencia es la celebración de:
La solución general de la $y' + y = 3x$$y(x) = c \, e^{-x} + 3x -3$.
La solución general de la $y' - y = x$$y(x) = c e^x-x-1$.
Así que el primer sistema no tiene solución. Como funciona el sistema de segundo. Y como el tercer sistema. Todos ellos tienen la emtpy conjunto como conjunto de soluciones.
Lo que el argumento muestra es que una función derivable $y(x)$ puede satisfacer ambas ecuaciones sólo en un conjunto restringido severamente $S$ $x$ valores: con la posible excepción de $x=1/2$, cada punto en $S$ es aislado. En particular, no hay ningún intervalo abierto de $x$'s donde ambas ecuaciones.
Por el contrario, para cualquier $S \subset \mathbb{R}$ cuyo conjunto de no-aislado puntos es $\lbrace 1/2 \rbrace$ o de vacío, no es un diferenciable $y(x)$ satisying ambas ecuaciones para todos los $x \in S$. La construcción es establecer $y(x)=x$ $y'(x)=2x$ todos los $x \in S$ y sin problemas de interpolar $y$ a los puntos fuera de $S$.
A la inversa, muestra que no hay restricción en $S$ puede ser derivada a partir de las ecuaciones.
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