Cómo probar sin la regla de L'Hospital que $\lim_{n\to\infty}{\frac{2^n}{n}}=\infty$

Question

Tengo que probar sin utilizar la regla de L'Hospital que $$\lim_{n\to\infty}{\frac{2^n}{n}}=\infty \; n\in\mathbb N$$ and $$\lim_{n\to\infty}{\frac{3^n}{n}}=\infty$$ ¿Cuál es la mejor manera?

Answer 1

Deje $n\ge 2$. Por el Teorema del Binomio, $(1+1)^n\ge 1+n+\frac{n(n-1)}{2}\gt \frac{n(n-1)}{2}$.

Answer 2

El uso de $\frac{(n+1)^2}{n^2}=1+\frac2n+\frac1{n^2}<2$$n>2$, demostrar por inducción que $2^n>n^2$ todos los $n\ge3$

Answer 3

Tratamos de demostrar que para cada $t\in\mathbb{N}$ no es un porcentaje ( $n_0$ , de tal manera que $\frac{2^n}{n}>t\quad\forall n>n_0$. Usted también podría mostrar algo a lo largo de las líneas de $\frac{2^n}{n}>2^{\frac{n}{2}}$ o así, deshacerse de su denominador. Para la segunda secuencia, pensar acerca de la $2^n<3^n$ y lo que significa para usted.

Answer 4

Si utiliza el hecho básico de que para $n\ge5$ $$2^n>n^2$$ usted puede demostrar que definitivamente $$\lim_{n\to \infty}\frac{2^n}{n}>\lim_{n\to \infty}\frac{n^2}{n}=\lim_{n\to \infty}n=\infty$$

En general, para todos los $a \in (1,+\infty), b\in \mathbb{R}$ siempre existe un $N\in \mathbb{N}$ tal que para cada a $n\geq N$

$$a^n>n^b$$

Intuitivamente, esta es la razón por la exponenciales siempre "prevalecer" sobre las facultades.