Por qué grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_n^*$ no es cíclica para $n = 2^k$ $k \ge 3$

Question

Sea G ser el grupo multiplicativo $\mathbb{Z}_n^*$$n = 2^k$$k \ge 3$.

Podemos demostrar que ningún elemento tiene orden mayor que $2^{k-2}$ ?

Mi solución (no es realmente una solución) :

Desde $n=2^k$, pensé que este grupo es cíclico y el generador es de 2. No estoy seguro de si el orden del grupo no puede ser más grande que $2^{k-2}$?

Answer 1

Un elemento $a\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es una unidad si y sólo si $(a,n)=1$, es decir, si y sólo si $a$ $n$ son relativamente primos. En tu caso, ya que el único divisor primo de $n=2^k$$2$, esta equivalencia se reduce a $a$ es una unidad si y sólo si $a$ es impar. Por lo tanto, los elementos de $(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^*$ $$1,3,5,7,\ldots,2^k-5,2^k-3,2^k-1$$ de los cuales hay $2^{k-1}$, o solo la mitad de $2^k$ debido a que sólo estamos tomando impar de elementos. Ahora $(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^*$ es no cíclico para $k\ge 3$ (leer aquí, que los estados que $(\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z})^*\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2^{k-2}\mathbb{Z}$). De ello se sigue que cualquier elemento de a $a$ debe tener un orden menos de $2^{k-1}$, pero todavía dividiendo $2^{k-1}$, y por lo tanto no debe ser mayor que $2^{k-2}$.

Answer 2

El lowbrow explicación es que los cuadrados de los números impares son igual a $1$ mod $8$. Este es de 1/4, 1/2 no, de los elementos en el grupo multiplicativo, de modo que el cuadrado (que se dobla, en el grupo) hace dos veces como mucho el colapso de los residuos de las clases, que si que fueron el grupo cíclico. Este colapso se persiste por poderes superiores de $2$ como uno siempre puede reducir cualquier situación de este tipo de mod $8$.

Esto está relacionado con el hecho de que hay complicaciones en el "levantamiento" de soluciones a$x^2=a$,$\mod 2^k$$\mod 2^{k+1}$, pero no para levantar el exponente en una solución de mod $p^u$ por extraño $p$.

Answer 3

Si simplemente queremos mostrar que el grupo multiplicativo $G = \Bbb{Z}_{2^k}^*$ no es cíclica para $k \ge 3$ (que es todo lo que se necesita para concluir el orden de cualquier elemento es estrictamente menor que el orden de grupo $G$), podemos comprobar primero para el caso de $k = 3$ como Jared comentario original señala: $\Bbb{Z}_8^*$ es isomorfo al producto de dos grupos cíclicos de orden dos (y no tiene ningún elemento de orden 4).

A continuación, para $k \gt 3$ uno comprueba que el natural anillo de homomorphism de $\Bbb{Z}_{2^k}$ a $\Bbb{Z}_8$ (tomando el grueso de la congruencia relación) induce un grupo homomorphism de los respectivos multiplicativo de los grupos (los grupos de unidades de los respectivos anillos). De esto podemos ver que $\Bbb{Z}_{2^k}^*$ no puede ser cíclico, ya que el cociente de grupo de un grupo cíclico es de nuevo cíclico.

La estructura específica de $\Bbb{Z}_{2^k}^*$ puede ser trabajado desde el hecho de que tiene dos factores cíclicos, $C_2 \times C_{2^{k-2}}$, con un generador para el segundo factor de 3 en todos los órdenes ($k \ge 3$). Una escritura en términos de "raíces primitivas" es aquí en el Lema 12, en donde se demuestra por inducción que para cualquier extraño $a$:

$$ k \ge 3 \implies a^{2^{k-2}} \equiv 1 \mod 2^k $$