Límite estándar relacionados con contraejemplos en multivariable cálculo incluir límites como
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2xy}{x^2 + y^2}$$
que tiende a $0$ si el origen es abordado a lo largo de $x=0$ o $y=0$, pero los enfoques $1$ si el origen es abordado a lo largo de la línea de $x=y$. Esto implica que el límite no existe.
De hecho, no racional de las funciones para las que el límite existe (y es el mismo) a lo largo de todas las líneas que contengan $(x_0, y_0)$, y, sin embargo, el límite no existe. Por ejemplo, si tenemos en cuenta
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2xy^2}{x^2 + y^4}$$
el límite es de $0$ a lo largo de líneas de la forma $y=\alpha x$ pero $1$ a lo largo de la curva de $y^2 = x$.
Me preguntaba si podríamos tener una más general contraejemplo de este tipo.
Supongamos $g(x,y)$ $f(x,y)$ son de dos polinomios de variable definida en un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ que contiene el origen tal que $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y) \to (0,0)} g(x,y) = 0$.
Además, suponga que la función racional $$\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$$
tiende a algunas límite de $L$ al $(0,0)$ se acercó a lo largo de las curvas de la forma $y=\alpha x^{\beta}$ donde $\alpha \in \mathbb{R}$ $\beta>0$ (el límite de $L$ es independiente de la curva). De lo anterior se sigue que
$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)} = L?$$
