La diferenciabilidad en un punto de $x$ $f$ diferenciable en a $\mathbb R\backslash\{x\}$

Question

Tengo una función real que cumple:

1. $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ es diferenciable en a$x$$x\neq x_0$.
2. Hay una medida $T$ tal que para cualquier secuencia $t_n\in T$ $t_n\stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} x_0$ tenemos $\lim_{n\rightarrow\infty} f^\prime (t_n) = c$.
3. $f$ es no decreciente

Estoy tratando de mostrar que $\mathbf{f}$ también debe ser diferenciable en a $\mathbf{x_0}$.

Mi idea es que si hay alguna secuencia $x_n$ $x_n\stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} x_0$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(x_n)-f(x_0)} {x_n-x_0} \neq c$ entonces se puede aproximar la $x_n$ $x_0$ con puntos en $T$ pero tengo que tener cuidado con la elección de $\varepsilon$ $\delta$ en la aproximación porque tenemos a dos de los límites de aquí (el propio derivado y el límite de los derivados). No estoy seguro de si esto iba a funcionar, porque parece que sería necesario para cambiar el orden de los límites. Además, en el análisis real, no son muchos los casos patológicos que quizás incluso hay un contra-ejemplo. Cualquier sugerencia sobre cómo atacar este problema?

Answer 1

Si dejas $f(x)=0$ $x\le 0$ $f(x)=1$ $x>0$ usted obtiene un contraejemplo. El resultado que usted desea requiere que usted asume que $f$ es continua en a $x_0$.

Suponiendo que, probablemente, hay más elemental de la prueba de la siguiente manera simple, pero no tan elemental de la prueba:

Decir $x_0=0$ por conveniencia. Restar una constante por lo $f(-1)=0$.

Ahora desde $f$ es continua en a $0$ y diferenciable de otros lugares es continua. De modo que existe un número finito de medida $\mu$ $[-1,1]$ tal que $$f(x)=\mu([-1,x])\quad(x\in[-1,1]).$$

Ahora $\mu=\mu_a+\mu_s$ donde $\mu_a$ es absolutamente continua y $\mu_s$ es singular (wrt medida de Lebesgue). Debemos tener $\mu_s([-1,1]\setminus\{0\})=0,$ ya que de lo contrario existiría $x\ne0$ tal que $f$ no diferenciable en a $x$. Y $\mu_s(\{0\})=0$ desde $f$ es continua en a $0$.

Por lo $\mu_s=0$, que dice que $f$ es absolutamente continua. En particular, $$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac1x\int_0^xf'(t)\,dt,$$and now the assumption about $f'$ tending to $c$ on a set of full measure shows that $f'(0)=c$.