Cómo obtener el hamiltoniano de un no-clásica de lagrange

Question

Para los no-clásica de lagrange de un átomo de hidrógeno:

$$L = -mc^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} + \frac{e^2}{4 \pi \epsilon r}$$

Conseguimos que dos cantidades conservadas son:

$J = \gamma mr^2 \dot{\phi}$ $E = \gamma mc^2 - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon r}$ donde $\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ $v^2 = \dot{r} + r^2\dot{\phi^2}$

En el intento de eliminar la $\dot{r}$$\dot{\phi}$, sigo dando vueltas en círculos porque $\gamma$ contiene $\dot{r}$ $\dot{\phi}$ - ¿cómo puedo evitar esto? Cualquier dirección, sería muy apreciado.

EDITAR:

Creo que yo era capaz de hacerlo, pero mis expresiones para $\dot{r}$ $\dot{\phi}$ están tan desagradable, ni siquiera sé si la manera de comprobar si es correcta.

¿Hay algún tipo de truco a esto lo que hace más fácil?

Gracias!

Answer 1

Creo que va como esto:

\begin{align} p&=m\dot r \left(1-\dfrac{\dot r^2+r^2 \dot\phi^2}{c^2}\right)^{-1/2}, \\ p_\phi &= mr\dot\phi \left(1-\dfrac{\dot r^2+r^2 \dot\phi^2}{c^2}\right)^{-1/2}. \end{align}

Usted obtener:

$$\dfrac{m\dot r}{mr \dot\phi}=\dfrac{p}{p_\phi}.$$

Usted puede utilizar esta última ecuación para obtener el $\dot \phi$ en términos de$p$$p_\phi$. Cómo? Si $\dot r =pr\dot\phi/p_\phi$, entonces:

$$mr\dot\phi \left(1-\dfrac{(pr\dot\phi/p_\phi)^2+r^2 \dot\phi^2}{c^2}\right)^{-1/2}=p_\phi,$$

con algunos de álgebra se obtiene:

$$\dot\phi^2=\dfrac{p_\phi^2 c^2}{m^2 c^2 r^2 +\dfrac{p^2r^2}{p_\phi^2}+r^2}.$$

Usted puede encontrar $\dot r$, que es igual a:

$$\dot r^2=\dfrac{p^2 c^2}{m^2 c^2+\dfrac{p^2}{p_\phi^2}+1}.$$

El hamiltoniano es:

$$H=\dot r \dfrac{\partial L}{\partial \dot r}+\dot \phi \dfrac{\partial L}{\partial \dot \phi}-L(r,\dot r,\dot \phi).$$

Como se puede ver, $\dot \phi$ $\dot r$ están en el hamiltoniano, y $\dot \phi^2$ $\dot r^2$ son menores de una raíz cuadrada. No es bonito, pero voy a dejar el resto para usted.