Qué $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ significa que $f$ se asigna a todos los reales?

Question

Esta es una pregunta rápida. Cuando la gente escribe $f:I\to J$, por ejemplo, qué $J$ necesario para ser el rango de $f$ o puede ser cualquier conjunto que contenga el rango de $f?$ $g(x)=\pi$ $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ función?

Answer 1

Generalmente, $f:A\to B$ significa que el dominio de $f$ $A$ y $\forall a\in A$, $f(a)\in B$. El mapa no tiene que ser inyectiva o surjective. El rango de $f$ es generalmente denotado como img$(f)$ o de la imagen de $f$, que en este caso es un subconjunto de a $B$.

Answer 2

$f:X\to\Bbb R$ simplemente significa que todos los valores de la función son reales. Esto no significa que todos los valores reales obtenidos por nuestra función. ($\Bbb R$ en este caso se llama codominio de una función $f$.) Su ejemplo $g$ es de hecho un $\Bbb R\to\Bbb R$ función (siempre y cuando se nos requiere que $x$ es real, y permiten a $x$ a asumir cualquier valor real), aunque ciertamente no es el caso que todos los valores reales obtenidos por $g$.

Answer 3

He aquí un punto que me gustaría destacar, sin embargo: no Se comienza con algo como $g(x) = \pi$ y PREGUNTAR si es un $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ función. Cuando usted escribe $f:I \rightarrow J$, los conjuntos de $I$ $J$ son parte de la DEFINICIÓN de la función.

En otras palabras, podría definir una función de $g$ diciendo $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x) = \pi$. Y yo podría definir una función de $h$ diciendo $h:\mathbb{R} \rightarrow \{\pi\}$, $h(x) = \pi$. Y estas son las DIFERENTES funciones.

Answer 4

Puede ser cualquier conjunto que contenga el rango de $f$. Así, su ejemplo, $g(x)=\pi$ $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ función.

Si el rango de una función $f:A\to B$ es exactamente $B$, lo llamamos surjective.

Answer 5

condensado a partir de los comentarios recibidos :

$$f:X \to Y \equiv \forall x \in X \quad \exists y \in Y \text{ such that } f(x)=y$$ $$f:X \to Y \land f_\text{ onto/surjective} \equiv \forall y \in Y, \, \exists x \in X \text{ such that } f(x)=y$$ $$f:X \to Y \land f_\text{ 1-1/bijective} \equiv \forall x \in X \quad !\exists y \in Y \text{ such that } f(x)=y$$