Demostrar que $n\in \mathbb{N}$: $n^2+1$ y $ n$ son coprime

Question

Demostrar que $n\in\mathbb{N}$ d: $n^2+1$ $ n$ son coprime

Mi intento: Tenemos que demostrar que $n^2+1$ $n$ son coprime, es decir, tenemos que demostrar MCD$(n^2+1,n)=1$.

Supongamos que MCD$(n^2+1,n)=d$,
a continuación,$\:d|n^2+1\:$$\:d|n$,
a continuación, $d|n^2+1-n\cdot n=d|n^2+1-n^2=d|1$

Esto significa $d=1$.

Es mi enfoque es correcto?

Answer 1

Otro enfoque utilizando el algoritmo de euclides. $$gcd(n^2+1,n)=gcd(n^2-n+1,n)=gcd(n^2-2n+1,n)....=gcd(n^2-n.n+1,n)$$ yo.e $$gcd(1,n)=1$$

Answer 2

Si $d$ divide $n$$n^2 + 1$, $d$ divide $n^2$
y $d$ divide $n^2 + 1 - n^2 = 1$.

Answer 3

Su razonamiento es correcto. Y básicamente es tomado en las dos respuestas hasta ahora.

Mi además sigue esta tendencia: El máximo común divisor de dos enteros $\,p,q\,$ (no ambos cero) puede caracterizarse como el menor entero positivo entre las combinaciones lineales de $p$ $q$ $$\operatorname{gcd}(p,q)\;=\; \min \big\{\{ap+bq\mid a,b\in\mathbb Z\}\cap\mathbb N\big\}\,.$$ Con $\,p=n^2+1\,$ $\,q=n\,$ se puede escribir $$1\cdot(n^2+1)\,+\,(-n)\cdot n\:=\:1\:=\:\operatorname{gcd}(n^2+1,n)\,,$$ así que están coprime.

Answer 4

Sí. Más generalmente, $\,\gcd(jn\!+\!k,n) = \gcd(k,n)\,$ por el algoritmo de Euclides (el tuyo es el caso de $\,j,k = n,1)$ En particular: $\,\gcd( f(n),n) = \gcd(f(0),n)\,$ para cualquier polinomio $\,f(x)\,$ con entero de los coeficientes.