Pregunta sobre el cálculo de $\lim\limits_{n \to\infty} \dfrac{6n^5+(\sin(8n))^2}{n^4+6} $

Question

Tengo el siguiente límite:

$$\lim\limits_{n \to\infty} \frac{6n^5+(\sin(8n))^2}{n^4+6} $$

Mi primera pregunta es, puedo solucionar este dividiendo por el mayor n de poder? La razón por la que no estaba seguro acerca de ello fue la causa de la $(\sin(8n))^2 $ sin embargo, pensé que como siempre es limitada por 0 y 1, dividiendo por n a la 5ta potencia podría causar que tienden a 0. Es esto un error?

Mi segunda pregunta es, si me pueden resolver esta dividiendo por el mayor n de poder, llego $\frac{6}{0} $ entonces, ¿cómo puedo saber si este tiende a infinito positivo o negativo? La pregunta no especifica si n fue originalmente tiende a infinito positivo o negativo.

Gracias!

Answer 1

Para tu primera pregunta, podemos reescribir de la siguiente manera:

$$\frac{6n^5+\sin^2(8n)}{n^4+6}=\frac{6n^5}{n^4+6}+\frac{\sin^2(8n)}{n^4+6}$$

La primera fracción es el verdadero problema, pero en la segunda fracción se puede manejar fácilmente con el teorema del sándwich por la razón que usted le dio a $\sin(x)$ no debería ser un problema aquí.

Segunda pregunta:

A continuación, dividir por potencias más altas, consigue $\frac60$, y desea saber si el resultado es positivo o negativo infinito. Esto se puede hacer notar que

$$n^4+6\ge6\\6n^5>0;\quad n>0\\\sin^2(8n)\ge0$$

Pues nada al cuadrado es positivo, y creo que no tengo que dar muchas explicaciones de por qué $6n^5$ será positivo.

Poner todo eso en su conjunto, debe ser capaz de concluir que diverge a $+\infty$.

Answer 2

1) no está mal aquí. $\sin(ax)$ siempre está acotada entre $0$$1$, y cuando la plaza de cualquier valor en $[0,1]$ se obtiene otro valor en $[0,1]$. Por lo tanto, no tiene que preocuparse acerca de la función del seno de sobrepasar esta obligado.

2) no importa si $n\to+\infty$ o $n\to-\infty$, como tanto le dará la misma respuesta (si bien $n\to\infty$ medio $n \to +\infty$). Tenga en cuenta que todo el tiempo $n$ muestra es elevado a una potencia par, lo que significa que no importa si $n$ es negativo o positivo. Simbólicamente, esto significa que $(-n)^{2x} = (-n)^{2^x} = \left((-1)^2\right)^x n^{2x}= 1^xn^{2x} = n^{2x}$

En cuanto a la realidad de investigar su límite sigue, en primer lugar, dividir por $n^4$. Tenemos que $$\lim\limits_{n \to\infty} \frac{6n^5+(\sin(8n))^2}{n^4+6}$$ $$=\lim\limits_{n \to\infty} \frac{6n+\frac{(\sin(8n))^2}{n^4}}{1+\frac{6}{n^4}}$$ Como se señaló, el seno es acotado, y así dividir por un aumento de la $n$, el término tiende a cero. Asimismo, $\lim_{n\to\infty} \frac{6}{n^4} = 0$. La aplicación de estos, tenemos que el límite es sólo $$\lim\limits_{n \to\infty} 6n$$
Que diverge claramente a $+\infty$. No estoy seguro de cómo llegué $\frac{6}{0}$ e no $\frac{6}{1}$, a pesar de que yo sería feliz para investigar su trabajo si lo publicas!

Answer 3

$\lim\limits_{n \to\infty} \frac{6n^5+\sin^28n}{n^4+6}=\lim\limits_{n \to\infty} \frac{6n+\frac{\sin^28n}{n^4}}{1+\frac{6}{n^4}} =\infty $

Answer 4

Es mucho más sencillo el uso de los equivalentes:

Como $\sin^28n$ es limitada, $6n^5+\sin^28n\sim_\infty 6n^5$; $n^4+6\sim_\infty n^4$, así $$\frac{6n^5+\sin^28n}{n^4+6}\sim_\infty\frac{6n^5}{n^4}=6n,$$ y el límite es de $+\infty$.