$\sum_{i=1}^n i\cdot i! = (n+1)!-1$ Por inducción

Question

Intento demostrar lo siguiente por Inducción Matemática:

$$\sum_{i=1}^n i\cdot i! = (n+1)!-1\quad\text{for all integers $ n\ge 1 $}$$

A continuación, mi prueba por inducción: Primero demuestre $P(1)$ es cierto,

$$\sum_{i=1}^1 i\cdot i! = (1+1)! - 1$$

Entonces, para todos los enteros $k >= 1$ , si $P(k)$ es verdadero, entonces $P(k+1)$ también es cierto,

$$ \sum_{i=1}^k i\cdot i! = (k+1)! - 1$$ Entonces, debemos demostrar que $P(k+1)$ es cierto

$$ \sum_{i=1}^{k+1} i\cdot i! = ((k+1)+1)! - 1\\ \sum_{i=1}^{k+1} i\cdot i! = (k+2)! - 1$$

Actualmente estoy luchando con el siguiente paso para demostrar que $P(k)$ es igual a $P(k+1)$ . ¿Cómo podría terminar esta prueba por inducción?

Answer 1

Una pista: $$\sum_{i=1}^{k+1} i\cdot i! = (k+1)\cdot(k+1)! + \sum_{i=1}^{k} i\cdot i! $$

por la definición del $\sum$ operador.

Además, por la hipótesis de la inducción, sabes que $\sum_{i=1}^{k} i\cdot i!$ que aparece en el lado derecho, es igual a $(k+1)!-1$ .

Answer 2

Si quieres una alternativa a la inducción, utiliza sumas telescópicas: $$ \sum_{i=1}^ni\cdot i!=\sum_{i=1}^n(i+1-1)\cdot i!=\sum_{i=1}^n(i+1)\cdot i!-1\cdot i! $$ $$ =\sum_{i=1}^n (i+1)!-i!=(n+1)!-n!+n!-\ldots-2!+2!-1!=(n+1)!-1. $$