Una suma de GCD $\sum_{\gcd(i,n)=1} \gcd(i-1,n)$

Question

Dejemos que $$\ n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\ldots$$ donde $p_1,p_2\ldots$ son factores primos de $n$ .

Demuestra que
$$\sum_{i=1,\,\gcd(i,n)=1}^n \gcd(i-1,n) = \prod_{} (a_i+1)(p_i-1)p_i^{a_i-1}.$$

Pude probarlo por $n$ que tiene un solo factor primo, pero no sé cómo proceder para el caso general. Supongamos que $\gcd(0,n)=n$ .

Answer 1

El RHS de su identidad es $\tau(n)\phi(n)$ , lo cual era muy sugerente, así que hice alguna búsqueda en google y encontré que lo que se quiere probar se conoce como La identidad de Menon , pero en ese enlace no hay ninguna prueba sobre este resultado, sin embargo he encontrado otra enlace donde se demuestra esta identidad. La prueba sólo utiliza la teoría elemental de los números.

Por cierto, la identidad de Menon se ha generalizado de diferentes maneras. He aquí algunas de ellas:

1. La identidad de Menon y las sumas aritméticas que representan funciones de varias variables

2. Una generalización de la identidad de Menon

3. Una generalización de la identidad de Menon con respecto a un conjunto de polinomios

4. Otra generalización de la función gcd-suma