Ayuda con las funciones biharmónicas

Question

Traté de usar la fórmula de Green para probar $\triangle u=0$ . Pero resultó ser un error porque $u=0$ no implica $\triangle u=0$ en la frontera.

Soy un novato en el pde graduado, por lo que aún no aprendí los espacios hilbert. Me pregunto si hay una prueba utilizando sólo las funciones armónicas?

Answer 1

La segunda identidad de Green dice que $$\int_\Omega f_1\Delta f_2-\int_\Omega f_2\Delta f_1=\int_{\partial\Omega}f_1\frac{\partial f_2}{\partial\nu}-\int_{\partial\Omega}f_2\frac{\partial f_1}{\partial\nu}.$$ Poniendo $f_1=u$ y $f_2=\Delta u$ tenemos $$\int_\Omega u\Delta (\Delta u)-\int_\Omega (\Delta u)^2=\int_{\partial\Omega}u\frac{\partial (\Delta u)}{\partial\nu}-\int_{\partial\Omega}\Delta u\frac{\partial u}{\partial\nu}.$$ Por la suposición de que $u=\frac{\partial u}{\partial\nu}=0$ en $\partial\Omega$ el lado derecho es cero, y el lado izquierdo es igual a $-\int_\Omega (\Delta u)^2$ desde $\Delta (\Delta u)=0$ en $\Omega$ por suposición. Esto implica que $\Delta u=0$ en $\Omega$ .

Ahora $\Delta u=0$ en $\Omega$ y $u=0$ en $\partial\Omega$ podemos concluir que $u=0$ en $\Omega$ utilizando primero la identidad de Green. Creo que puedes hacerlo desde aquí.