Las raíces de la adición.

Question

$$\sqrt{\frac{a+x^2}{x}-2\sqrt{a}}+\sqrt{\frac{a+x^2}{x}+2\sqrt{a}}=Q $$ Uno se espera encontrar $Q$ respetando $a>0$, $x>\sqrt{a}$ .

Me gustaría tener mi solución marcada; es decir, la respuesta correcta es $2\sqrt{x}$ pero yo simplemente no veo donde he cometido un error.
Y sería bueno saber si hay alguna más suave solución, o cualquier otra forma de resolver esto.

Introduje dos posteriores sustituciones.

1. $\frac{a+x^2}{x}=A, \;\;\;2\sqrt{a}=B \; \Rightarrow \; \sqrt{A-B}+\sqrt{A+B}=Q$
2. $\sqrt{A-B}=k, \;\;\; \sqrt{A+B}=n$

Ahora tengo: $ \;\;\;$ $k+n=Q, \;\;\; k^2+n^2=2A, \;\;\; kn=\sqrt{A^2-B^2}$
$$k^2+n^2+2kn=\left ( k+n \right )^2=Q^2$$ $$Q^2=2A+2\sqrt{A^2-B^2}=\frac{2(a+x^2)}{x}+2\sqrt{\frac{\left (a+x^2 \right )^2}{x^2}-\left ( 2\sqrt{a} \right )^2}=$$ $$=\frac{2(a+x^2)}{x}+2\sqrt{\frac{a^2+2ax^2+x^4-4ax^2}{x^2}}=$$ $$=\frac{2(a+x^2)}{x}+2\sqrt{\frac{a^2-2ax^2+x^4}{x^2}}=$$ $$=\frac{2(a+x^2)}{x}+2\sqrt{\frac{\left ( a-x^2 \right )^2}{x^2}}=\frac{2(a+x^2)}{x}+\frac{2\left (a-x^2 \right)}{x}=\frac{4a}{x}$$ Y como resultado: $$Q=2\sqrt{\frac{a}{x}}$$

Answer 1

Set $\sqrt{a}=b$ por lo que el primer sumando es $$ \sqrt{\frac{b^2+x^2}{x}-2b}= \sqrt{\frac{(x-b)^2}{x}}=\frac{x-b}{\sqrt{x}} $$ porque, por supuesto, $x>b$ (y así también positiva).

Del mismo modo $$ \sqrt{\frac{b^2+x^2}{x}+2b}= \sqrt{\frac{(x+b)^2}{x}}=\frac{x+b}{\sqrt{x}} $$

Por lo tanto su expresión es de $$ Q=\frac{x-b}{\sqrt{x}}+\frac{x+b}{\sqrt{x}}= \frac{2x}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x} $$ Su error está en $$ \sqrt{\frac{(a-x^2)^2}{x^2}}=\frac {- x^2}{x} $$ debido a que el lado derecho es positivo, mientras que el lado derecho es negativo.

Answer 2

Ya tenemos $x\gt \sqrt a\gt 0$, tenemos $$x^2\gt a\Rightarrow a-x^2\lt 0.$$ Por lo tanto, tenga en cuenta que tenemos $$\sqrt{\frac{(a-x^2)^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{(a-x^2)^2}}{\sqrt{x^2}}=\frac{|a-x^2|}{|x|}=\frac{\color{red}{-}(a-x^2)}{x}.$$