Límite de una función que satisface una desigualdad

Question

Si $f(x)+f(y)\leq f(x+y)$ y $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, ¿podemos encontrar $\lim_{x\to 0} \frac {f(x)}{x}$?

No estoy seguro si la pregunta es correcta. Gracias. (Intenté esta idea: $f(x)=f(x+y-y)\ge f(x+y)+f(-y)\ge f(x)+f(y)+f(-y)\implies f(y)\leq -f(-y)$ pero después parezco estar alcanzando un callejón sin salida).

Gracias de antemano.

Answer 1

Una función $f:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$ que cumple $$(\forall x,y\in\mathbb R)f(x+y) \le f(x)+f(y)$$ es llamada subaditiva.

Ya se mencionó en comentarios que el límite no necesariamente existe sin suposiciones adicionales sobre $f$. Por ejemplo, si $f$ es cualquier solución no lineal de la ecuación funcional de Cauchy, entonces el límite no existe, pero la función es tanto subaditiva como superaditiva.

El siguiente resultado del libro Una introducción a la teoría de ecuaciones e desigualdades funcionales por Marek Kuczma p.467 da al menos algunas condiciones cuando el límite existe:

Teorema 16.3.3. Sea $f:\mathbb R\to\mathbb R$ una función subaditiva medible, y sea $$A = \inf_{t<0} \frac{f(t)}t, \qquad B=\sup_{t>0} \frac{f(t)}t.$$ Si $A$ resp. $B$ es finito, entonces $$A = \lim_{h\to0^-} \frac {f(h)}h,\text{ resp. }B=\lim_{h\to0^+} \frac {f(h)}h.$$ Las fórmulas anteriores siguen siendo válidas para $A$ y/o $B$ infinito bajo la suposición adicional de que $\lim\limits_{x\to 0} f(x) = 0$, o $\liminf\limits_{x\to 0} f(x)>0$ Además, en todos los casos, $$A \le B.$$

Si reescribes los resultados anteriores para la función $g(x)=-f(x)$, obtienes resultados para funciones superaditivas, es decir, $g(x+y)\ge g(x)+g(y)$.