Dado el sistema de ecuaciones diferenciales $$\frac{d\vec{y}}{dx} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}\vec{y} \ + \begin{pmatrix} sin(wx) \\ 0\\ \end{pmatrix} \ \ \ \ (w \neq \pm1) $$ Hay dos preguntas que no puedo responder. 1. ¿Cómo puedo encontrar la solución general? 2. ¿Cómo puedo encontrar el periódico soluciones (en general). He tratado de resolver el siguiente sistema$de$\frac{d\vec{y}}{dx} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}\vec{y} $$ para encontrar la solución complementaria, la cual fue $$\vec{y} = c_1\begin{pmatrix} cos(x) \\ -sin(x)\\ \end{pmatrix} \ +c_2\begin{pmatrix} sin(x) \\ cos(x)\\ \end{pmatrix} $$ Entonces, ¿cómo debo proceder?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Probar: $$ \vec{y} = \left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end{de la matriz} \right) \quad\Rightarrow \quad \dfrac{d\vec{y}}{dx} = \left( \begin{matrix} y'_1 \\ y'_2 \end{de la matriz} \right)$$ Por lo tanto: $$ \left( \begin{matrix} y'_1 \\ y'_2 \end{de la matriz} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & +1 \\ -1 & 0 \end{de la matriz} \right) \left( \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end{de la matriz} \right) + \left( \begin{matrix} \sin(wx) \\ 0 \end{de la matriz} \right) \quad\Rightarrow\quad \left\{ \begin{align} y'_1 &= y_2 + \sin(wx) \\ y'_2 &= - y_1 \end{align} \right. $$ La diferenciación de la segunda ecuación y sustituyendo, usted puede conseguir un segundo orden de la ecuación diferencial: $$ y_1 = - y'_2 \quad\Rightarrow\quad y'_1 = - y"_2 \quad\, por tanto\quad y"_2 + y_2 = - \sin(wx) $$ La solución general para $y_2$ es: $$ \forall a,B\in\mathbb{C}: \quad y_2 = A \cos(x) + B \sin(x) + \dfrac{1}{w^2-1}\sin(wx) $$ (Tenga en cuenta que $w\neq\pm 1$). Para $y_1$: $$ y_1 = - y'_2 \quad\Rightarrow\quad y_1 = \sin(x) - B \cos(x) - \dfrac{w}{w^2-1}\cos(wx) $$ Finalmente, para todos los $A,B\in\mathbb{C}$ $w\in\mathbb{C}$ tal que $w\neq\pm 1$: $$ \vec{y} = \left( \begin{matrix} A \sin(x) - B \cos(x) - \dfrac{w}{w^2-1}\cos(wx) \\ A \cos(x) + B \sin(x) + \dfrac{1}{w^2-1}\sin(wx) \end{de la matriz} \right) $$
Añadido: Periodicidad De Análisis. Por definición de función periódica: $$ y(x)\mbox{ es periódica en T}\quad\Leftrightarrow\quad\forall k\in\mathbb{Z},\,\existe T\in\mathbb{C}: \quad \vec{y}(x) = \vec{y}(x + Tk) $$ La función de $\vec{y}$ se compone de las funciones que tienen diferentes períodos, $T_1$$T_2$. Que corresponde a $\cos(x),\sin(x)$ $\cos(xw),\sin(xw)$ funciones, respectivamente: $$ \begin{align} T_1 &= 2\pi & T_2 &= \frac{2\pi}{w} \\ \end{align} $$ Así que esto significa que: $$ \forall k\in\mathbb{Z},\,\existe k1,k2\in\mathbb{Z}: \quad Tk = T_1 k_1 = T_2 k_2 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{T_1}{T_2} = w = \dfrac{k_2}{k_1} $$ Desde $k1,k2\in\mathbb{Z}$, necesariamente,$\dfrac{k_2}{k_1}\in\mathbb{Q}$. Entonces: $$ \vec{y}(x)\mbox{ es periódica}\quad\Leftrightarrow\quad w \in\mathbb{Q} $$
