Una integral impropia con parámetro complejo

Question

Para un número complejo $\displaystyle z$ Cómo evaluar $$\int_0^\infty\frac{\text{d}x}{x^2+(1-z^2x^2)^2}$$

Answer 1

A problema relacionado . Esta es la idea, ya que el integrando es una función par, entonces podemos escribir la integral como

$$ \int_0^\infty\frac{\text{d}x}{x^2+(1-z^2x^2)^2}=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\text{d}x}{x^2+(1-z^2x^2)^2}. $$

Expandiendo el denominador y completando el cuadrado, llegamos a

$$ \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\text{d}x}{x^2+(1-z^2x^2)^2}= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\text{d}x}{(x^2+\alpha^2)^2+\beta^2}, $$

donde $\alpha$ y $\beta$ son funciones en $z$ . Ahora, recordando el Transformación de Fourier podemos considerar la integral más general

$$ \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-ixw}\text{d}x}{(x^2+\alpha^2)^2+\beta^2}. $$

Lo dejo aquí para que termines la tarea.

Answer 2

Por la fórmula cuadrática, el denominador del integrando tiene raíces

$$\begin{align} r_1,r_2,r_3,r_4 &= \pm\sqrt{\frac{2z^2-1\pm\sqrt{1-4z^2}}{2z^4}}\\ &=\frac{\pm1}{2z^2}\left(i\pm\sqrt{4z^2-1}\right) \end{align}$$

y como el integrando es una función par $$\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{x^2+(1-z^2x^2)^2} &= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{x^2+(1-z^2x^2)^2} \\ &= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{1/z^4}{x^4+(1-2z^2)x^2/z^4+1/z^4} dx \\ &= \frac{1}{2z^4}\int_{-\infty}^\infty f(x) dx \end{align}$$

donde $$f(x) = \frac{1}{(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)}.$$ Desde $f(z)$ es analítica en la mitad superior del plano complejo (excepto para un número finito de polos), y como $f(z)$ se desvanece más rápido que $1/z^2$ para $|z|\rightarrow\infty$ el teorema del residuo da $$\frac{1}{2z^4}\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = \frac{\pi i}{z^4}\sum\mathrm{res\,\,}f$$ donde $\sum\mathrm{res\,\,}f$ es la suma de los residuos en el plano medio superior. El truco consiste entonces en determinar cuáles de los cuatro polos están en el semiplano superior. Definimos las raíces como

$$\begin{align} r_1 &= \frac{1}{2z^2}\left(i+\sqrt{4z^2-1}\right) \\ r_2 &= -r_1 \\ r_3 &= \frac{1}{2z^2}\left(i-\sqrt{4z^2-1}\right) \\ r_4 &= -r_3 \end{align}$$

Si $z$ es puramente real, entonces $r_1$ y $r_3$ están en el medio plano superior. Así, $$\begin{align} \sum\mathrm{res\,\,}f &= \frac{1}{(r_1-r_2)(r_1-r_3)(r_1-r_4)} + \frac{1}{(r_3-r_1)(r_3-r_2)(r_3-r_4)} \\ &= -i\frac{z^4}{2} \end{align}$$

después de mucho álgebra. Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{dx}{x^2+(1-z^2x^2)^2} &= \frac{\pi i}{z^4}\frac{-iz^4}{2} \\ &= \frac{\pi}{2} \end{align}$$

que es independiente de $z$ (si $z$ ¡es puramente real)! En el caso general, sin embargo, calcular los residuos de los polos que están en el semiplano superior, que se determinará por el valor de $z$ .