Clasificación de las cónicas en el plano hiperbólico

Question

¿Cuántos tipos diferentes de cónicas existen en el plano hiperbólico?

La geometría euclidiana tiene tres, por supuesto. Pero cuando trataba de encontrar resultados para el plano hiperbólico, lo mejor que encontré de libre acceso fue esto: http://www.mathnet.ru/links/0116e85b4ef8e4fdf19cbe340a1eb771/ivm1975.pdf

Sin embargo, mi ruso está un poco oxidado. Puedo ver que este tipo encontró 9 tipos distintos, pero no tengo ni idea de cómo son o qué propiedades tienen.

¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Definición de secciones cónicas

La primera cuestión, por supuesto, es cómo definir las secciones cónicas en el plano hiperbólico. El método habitual es utilizar la modelo hiperboloide que identifica el plano hiperbólico con el hiperboloide $$ x^2 + y^2 - z^2 = -1,\qquad z\geq 1. $$ En este modelo, las isometrías del plano hiperbólico corresponden a transformaciones lineales de $\mathbb{R}^3$ que mapean este hiperboloide a sí mismo.

Utilizando este modelo, defina un sección cónica sur $\mathbb{H}^2$ para ser cualquier intersección del hiperboloide con un conjunto de la forma $$ \{\textbf{x}\in\mathbb{R}^3 \mid \textbf{x}^{T}S\textbf{x} = 0\}\tag*{(*)} $$ donde $S$ es una no degenerada $3\times 3$ matriz simétrica. Es decir, una sección cónica es cualquier subconjunto del hiperboloide $x^2+y^2-z^2 = -1$ definido por una ecuación de la forma $$ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dxz + Eyz + Fz^2 = 0 $$ donde $A,B,C,D,E,F\in\mathbb{R}$ .

Obsérvese que los conjuntos de la forma $(*)$ dados anteriormente son precisamente los conos dobles elípticos con un vértice en el origen. (Esto supone $S$ no es positiva o negativa definida, en cuyo caso el conjunto dado está formado sólo por el origen). Esto justifica el nombre de "sección cónica". Nótese también que estas secciones cónicas son invariantes bajo isometrías de $\mathbb{H}^2$ (ya que las isometrías corresponden a mapas lineales), lo que parece una buena propiedad para las secciones cónicas.

El modelo Klein

Podemos entender mejor estas secciones cónicas pasando a la Modelo Klein del plano hiperbólico. En este modelo, $\mathbb{H}^2$ es el interior de un disco unitario, y las líneas hiperbólicas son cuerdas rectas del disco. (Esto es diferente del más común Modelo de disco de Poincaré en el que las líneas hiperbólicas son arcos circulares). El modelo de Klein puede considerarse como el disco $x^2+y^2=1$ en el $z=1$ plano de $\mathbb{R}^3$ que se proyecta sobre el hiperboloide desde el origen.

Ahora, hay que saber algunas cosas sobre el modelo Klein:

• No es un modelo conforme. Es decir, el ángulo en el que parecen intersecarse dos cuerdas es diferente del ángulo real de intersección en el plano hiperbólico.

• Las isometrías del modelo de Klein son precisamente las transformaciones proyectivas del plano que mapea el disco unitario a sí mismo.

La razón por la que el modelo de Klein es útil es que las secciones cónicas hiperbólicas en el modelo de Klein son precisamente secciones cónicas euclidianas que intersecan el disco unitario . Esto tiene que ver con el hecho de que el disco de Klein realmente se encuentra en el plano $z=1$ sur $\mathbb{R}^3$ y la intersección de este plano con los conos elípticos definidos anteriormente da secciones cónicas en el plano.

Por tanto, entender las secciones cónicas en el plano hiperbólico es precisamente lo mismo que entenderlas en el plano euclidiano hasta las transformaciones proyectivas que preservan el disco unitario.

La clasificación

Parece que la clasificación de las secciones cónicas hiperbólicas se remonta a un artículo de 1882 de William E. Story:

Story, William E. "On non-Euclidean properties of conics". Revista Americana de Matemáticas 5, nº 1 (1882): 358-381.

Story clasifica las secciones cónicas según el número y las multiplicidades de las intersecciones entre la sección cónica y el círculo límite. Esto da lugar a ocho tipos de secciones cónicas

1. Un elipse es una elipse contenida totalmente en el interior del disco unitario.

2. A hipérbola es una sección cónica que interseca el círculo unitario en cuatro puntos diferentes. (Tal sección cónica puede ser una porción de una elipse, parábola o hipérbola en el plano euclidiano, aunque cuál de estos tres tipos es puede cambiar bajo isometrías hiperbólicas).

3. A semi-hiperbola es una sección cónica que interseca transversalmente al círculo unitario en dos puntos diferentes. (De nuevo, puede ser una elipse, parábola o hipérbola en el plano euclidiano).

4. Un parábola elíptica es una elipse o círculo en el disco que interseca el círculo unitario en un punto de tangencia.

5. A parábola hiperbólica es una sección cónica que interseca el círculo unitario tres veces, siendo una de ellas un punto de tangencia.

6. A parábola semicircular es una sección cónica que tiene el círculo unitario como una de sus círculos oscilantes (es decir, tienen un punto de contacto de tercer orden) y también interseca el círculo unitario en un punto adicional.

7. A horocycle (llamada "parábola circular" por Story) es una elipse en el disco unitario que tiene un contacto de cuarto orden con el círculo unitario. Es decir, es una elipse que tiene el círculo unitario como círculo oscilante en uno de los extremos de su eje menor.

8. A círculo es un círculo contenido completamente en el interior del disco unitario, y un cónica de equidistancia es una elipse que es tangente al disco unitario en dos puntos. (Story se refiere a estos dos casos simplemente como "círculos").

Story menciona que algunos de estos ocho tipos pueden subdividirse, y los autores posteriores suelen aumentar el número de tipos a 11 o 12. Por ejemplo, en la página 142 del siguiente libro se puede encontrar una clasificación en 12 tipos:

Liebmann, Heinrich. Geometría no euclidiana. Vol. 49. GJ Göschen, 1905.

No leo alemán, así que no puedo confirmarlo, pero esta clasificación se reproduce en inglés en la página 257 del siguiente libro, que también tiene unas bonitas figuras en la página siguiente:

Rosenfeld, Boris, y Bill Wiebe. Geometría de los grupos de Lie . Vol. 393. Springer Science & Business Media, 2013.

En particular, Rosenfeld y Wiebe (presumiblemente siguiendo a Liebmann) hacen las siguientes distinciones:

• Además, clasifican los "círculos" de Story en círculos verdaderos y cónicas equidistantes.

• Llaman a una hipérbola "cóncava" si tiene cuatro líneas tangentes comunes con el círculo unitario en el plano euclidiano, y "convexa"

• Clasifican las parábolas hiperbólicas en tres tipos según el número de ramas y el número de líneas tangentes comunes en el plano euclidiano.

El resultado es un total de 12 tipos. Esta clasificación tiene la ventaja de ser simétrica con respecto a dualidad proyectiva ya que utiliza tanto los puntos de intersección como las líneas tangentes comunes.

Answer 2

Clasificación por puntos de intersección

Si pensamos en los tres tipos no degenerados de elipse, parábola e hipérbola, éstos se clasifican por sus puntos de intersección con la recta en el infinito. En el caso de la hipérbola hay dos puntos de intersección distintos, en el de la parábola hay un único punto de tangencia con multiplicidad algebraica dos, y en el de la elipse hay un par de puntos conjugados complejos.

Ahora bien, en el mundo de las geometrías de Cayley-Klein, la recta del infinito no es más que una cónica especial, es decir, una que degenera en una recta, con los puntos del círculo ideal como puntos distinguidos por los que pasan todas las tangentes. De todos modos, habría que multiplicar todas estas cuentas por dos, y eso describiría la situación en un vocabulario que se pueda traducir.

En la geometría hiperbólica, la cónica fundamental, la que corresponde a la línea en el infinito, es una cónica real y no degenerada, por ejemplo, el círculo unitario del modelo de Beltrami-Klein. Cualquier otra cónica puede intersecar esa cónica hasta en cuatro puntos reales. Algebraicamente siempre se tienen exactamente cuatro puntos. A no ser que las cónicas sean iguales, claro. Entonces, ¿qué combinaciones puedes tener? Para mantener las cosas sistemáticas, ve por el número creciente de intersecciones reales.

1. Comienza sin ninguna intersección.
2. Entonces un punto de tangencia.
3. Entonces dos puntos reales de intersección y dos complejos conjugados.
4. Entonces dos puntos de tangencia distintos. (Tal cónica, que toca la cónica fundamental en dos puntos, sería una circunferencia hiperbólica, por cierto, o un par de curvas equidistantes, según se mire).
5. A continuación, dos puntos simples de intersección y un punto doble.
6. Entonces, cuatro puntos distintos.

Espero no haber olvidado ninguna situación. Se podría distinguir aún más: ¿la cónica toca a la cónica fundamental por dentro o por fuera? Para el primer caso, sin intersección real, podrías considerar un único par conjugado de puntos de contacto, correspondiente a círculos hiperbólicos que no contienen puntos ideales. Podrías construir círculos que toquen la cónica fundamental desde el exterior en dos puntos. Y probablemente un montón de otras características además de éstas.

Clasificación por focos

Como no tengo nada de ruso, tengo problemas para relacionar esto con el texto al que haces referencia. Pero el hecho de que la columna de la derecha parece estar categorizando por cuatro objetos, $F_1,F_2,\bar F_1$ y $\bar F_2$ sugiere que la idea central es la misma. Si puedes descifrar las palabras clave allí, lo más probable es que incluyan "real", "conjugado", "doble" o cosas por el estilo.

Haciendo un poco de copiar y pegar en Google Translate En la columna de la derecha no se habla de los puntos de intersección, ni de si son o no reales, complejos o coincidentes. En su lugar hablan de los focos (Фокусы) que están o bien en el interior, en el exterior o en el límite de la cónica fundamental (абсолюта). Aparentemente emparejan los focos para hacer estas distinciones, ya que, por ejemplo, en la geometría euclidiana, una elipse y una hipérbola tienen dos focos reales y dos complejos conjugados cada una. (Los que son reales para la elipse son complejos para la hipérbola y viceversa).

Pero no estoy seguro de a qué focos se refieren exactamente. Si se refirieran a los focos euclidianos normales, entonces todo el montaje tendría una fuerte dependencia euclidiana. Los cuatro focos de la geometría euclidiana se pueden obtener construyendo tangentes a los puntos del círculo ideal $(1,i,0)$ y $(1,-i,0)$ y la intersección de éstas entre sí. Los puntos del círculo ideal, como he mencionado antes, forman parte de la cónica fundamental de la geometría euclidiana. Así que para hacer esto correctamente, habría que trazar tangentes a la cónica fundamental de la geometría hiperbólica. Y para dos cónicas no degeneradas, esto significaría cuatro tangentes comunes, y un total de seis puntos que podrían llamarse focos.

Como el OP señaló correctamente en un comentario, la Figura 4 de ese documento muestra cuatro colineal puntos etiquetados $F_1,F_2,\bar F_1$ y $\bar F_2$ . Esto no concuerda con ninguna de las dos definiciones de focos que acabo de mencionar. Por el momento, la conexión no está clara.