¿Hasta qué punto es un esquema de morfismos determinada por su topológico mapa?

Question

Estoy empezando a aprender el esquema de la teoría. Esta pregunta está dirigida a conseguir una sensación para algo así que disculpas de antemano por la falta de precisión.

Me llama la atención por la siguiente diferencia de la teoría, tanto de variedades y suave colectores:

En las categorías tanto de variedades y de suave colectores, una de morfismos es completamente especificado por lo que se está haciendo en los espacios topológicos, ya que los elementos de la estructura de la gavilla (regular las funciones de variedades, las funciones lisas para los colectores) están determinadas por su pointwise valores. Pero en la categoría de esquemas, para especificar un morfismos $f:X\rightarrow Y$ necesitamos especificar por separado el subyacente mapa topológico $f:X\rightarrow Y$ y la gavilla de mapa de $f^\#: \mathcal{O}_Y\rightarrow f_*\mathcal{O}_X$.

A pesar de esto, a mí me parece que el mapa topológico pone fuertes restricciones sobre la gavilla mapa. Por ejemplo, si $X=\operatorname{Spec}B,Y=\operatorname{Spec}A$ son afín a sistemas, los morfismos es determinado por un anillo homomorphism $A\rightarrow B$; el mapa topológico es como el de los números primos contrato en virtud de que el anillo de homomorphism. Si yo sé cómo todos los números primos son contratante, esto no deja la homomorphism un montón de espacio para moverse. Puedo solicitar la ayuda en la forma de pensar acerca de exactamente cuánto espacio hay:

"Cuántos" diferentes morfismos son posibles entre los esquemas $X,Y$ con el mismo mapa topológico $f:X\rightarrow Y$? "Cómo diferentes" pueden obtener? ¿Qué tipos de condiciones en $X,Y$ límite de esta flexibilidad?

(Por ejemplo, si $X,Y$ integral, en cuyo caso los elementos de la estructura de las poleas son "determinado por su pointwise valores" en el residuo de los campos de $\kappa(p)$, ¿el mapa topológico de la fuerza de un particular gavilla mapa como lo hace para las variedades y los colectores?)

Answer 1

Si $K,L$ son campos (en general los anillos con sólo un primer ideal, es decir, locales e $0$-dimensional), entonces el morfismos $\mathrm{Spec}(L) \to \mathrm{Spec}(K)$ corresponden a campo homomorphisms $K \to L$. Si usted está familiarizado con la teoría de Galois, ya se ve a partir de este simple ejemplo de que uno puede pasar toda una vida con morfismos de este tipo, aunque el subyacente espacios topológicos tiene un solo punto!

Por otro lado, el siguiente es cierto: Si $X,Y$ son integrales y finito de escribir sobre algunos algebraicamente cerrado campo de $k$, $k$- morfismos $f : X \to Y$ es, de hecho, determinado por lo que hace en el subyacente de los espacios. Esto es totalmente fiel a la parte de la conocida equivalencia de categorías entre las variedades en el sentido moderno y variedades en el sentido clásico.

Como para el caso general, ya se ha observado que para un mapa continuo $f : X \to Y$ hay muchas extensiones de morfismos $(f,f^\#) : X \to Y$ de los sistemas como gavilla homomorphisms $\mathcal{O}_Y \to f_* \mathcal{O}_X$ (de tal manera que el tallo mapas son locales).

Cuando usted comienza con la geometría algebraica usted puede utilizar con seguridad su intuición acerca de las construcciones básicas de espacios topológicos, porque todos ellos llevan más de a (a nivel local) rodeada de espacios. Sin embargo, la geometría algebraica es de curso más de topología. Toma literalmente: Álgebra + Geometría. :)

Answer 2

Un ejemplo : supongamos $\rm X$ ser cualquier cerrada subscheme de $\rm Y$ y deje $\mathfrak I$ ser su gavilla de ideales, entonces para cualquier $n > 0$, tiene un mapa $\iota_n : \rm X \to \rm Y$ definido por $\mathfrak I^n$ que son todos de la misma topológicamente.