Probabilidad de que al menos $2$ de la gente no va a recibir ningún as.

Question

Tengo una baraja de 52 francés tarjetas ($13$ valores para cada una de las $4$ trajes) y $4$ jugadores. Al azar haciendo todas las cartas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos $2$ de la gente no va a recibir ace?

Yo:

$$p=\frac{\frac{4!}{2!}\binom{48}{13,13,12,10}+\binom{4}{2}\binom{48}{13,13,11,11}+\frac{4!}{3!}\binom{48}{13,13,13,9}}{\binom{52}{13,13,13,13}}$$

Donde:

$\binom{48}{13,13,13,9}$ es el caso de la $A$ todos los $4$ ases,

$\binom{48}{13,13,12,10}$ caso $A$ $1$ as $B$ $3$ ases,

$\binom{48}{13,13,11,11}$ $A$ $2$ ases y lo mismo $B$,

$\frac{4!}{2!}$ arreglos de $4$ a las personas a ser$A$$B$,

$\binom{4}{2}$ combinación de $4$ a las personas a ser$A$$B$,

$\frac{4!}{3!}$ arreglos de $4$ a las personas a ser $A$

Estoy en lo cierto? Si sí, hay una solución más elegante que la mía?

Answer 1

Vamos a utilizar una versión del Principio de Inclusión y Exclusión (PIE).

¿Cuál es la probabilidad de que dos de los jugadores no tienen ases? Hay $\binom{4}{2}$ formas de seleccionar los dos jugadores, por lo que el total de la probabilidad es $$S_2 = \binom{4}{2} \frac{\binom{48}{26}} {\binom{52}{26}}$$ Tenemos más de contados casos donde tres de los jugadores no tienen los ases, pero espera, vamos a compensar en un minuto.

¿Cuál es la probabilidad de que tres de los jugadores no tienen ases? Hay $\binom{4}{3}$ formas de seleccionar los tres jugadores, por lo que el total de la probabilidad es $$S_3 = \binom{4}{3} \frac{\binom{48}{39}} {\binom{52}{39}}$$

La pregunta es, ¿cómo compensar la sobre-contando en $S_2$? Si de hecho hay tres jugadores que no tienen los ases, la probabilidad de que este evento se ha contado tres veces en la formación de $S_2$. Queremos contar sólo una vez, así que debemos compensar restando dos veces. Por lo tanto, la probabilidad de que al menos dos de los jugadores no tienen ases $$S_2 - 2 S_3 \approx \boxed{0.310204}$$

Nota: La habitual declaración de PASTEL muestra cómo se puede calcular la probabilidad de que al menos uno de $n$ eventos. Pero una modificación de la CIRCULAR nos permite calcular la probabilidad de que al menos $m$ eventos, y un simple caso de que la modificación de la EMPANADA se ha aplicado anteriormente. Una discusión completa se puede encontrar en Feller, Una Introducción a la Teoría de la Probabilidad y Sus Aplicaciones, Tercera Edición, en la sección IV.5(a), "La Realización de, al Menos, $m$ Eventos".

Answer 2

Con referencia con mi último comentario en contra de su pregunta.

Imagine $4$ etiquetado habitaciones, cada una con $13$ etiquetado camas, para ser ocupados por $4$ de los viajeros (ace)

Como se han encontrado, o $4$ están en una habitación, o $3-1 \;or\; 2-2$ en dos habitaciones para satisfacer la cuestión de las restricciones

$Pr = \dfrac{4\binom{13}4 + (4\cdot3)\binom{13}3\binom{13}1 + \binom42\binom{13}2\binom{13}{2}}{\binom{52}4} = \dfrac{76}{245},\; \approx0.310204 $

Tenga en cuenta que la inclusión-exclusión no ha sido recurrido.

Answer 3

Hay $\binom42$ formas para elegir a dos de las personas que tienen 26 disponible "slots" entre ellos.

Considerar sólo la distribución de los ases, donde el resto de las tarjetas de ir no importa.

La probabilidad de que todos los ases caer en uno u otro de los 26 ranuras de las dos es

$\binom42\cdot \frac{26}{52}\cdot\frac{25}{51}\cdot\frac{24} {50}\cdot\frac{23}{49}$

Hay $3$ grupos de dos contienen Un, digamos, a saber. AB, AC y AD, por lo que los casos donde Una tiene todos los ases han contado tres veces, y lo mismo para los demás, así que para corregir esto, resta

$2\cdot4 \cdot \frac{13}{52}\cdot\frac{12}{51}\cdot\frac{11}{50}\cdot\frac{10}{49}$

La respuesta final sale como $\frac{76}{245}$

Answer 4

Deje $S(i)$ a las transacciones en que el jugador $i$ no tiene un as. Dejar $$ N(j)=\sum_{|A|=j}\left|\,\bigcap_{i\in A} S(i)\,\right|\etiqueta{1} $$ tenemos $$ \begin{align} N(0)&=\binom{4}{0}\binom{52}{13}\binom{39}{13}\binom{26}{13}\binom{13}{13}=53644737765488792839237440000\\ N(1)&=\binom{4}{1}\color{#C00}{\binom{48}{13}}\binom{39}{13}\binom{26}{13}\binom{13}{13}=\frac{25308}{20825}\,N(0)\\ N(2)&=\binom{4}{2}\color{#C00}{\binom{48}{13}\binom{35}{13}}\binom{26}{13}\binom{13}{13}=\frac{6900}{20825}\,N(0)\\ N(3)&=\binom{4}{3}\color{#C00}{\binom{48}{13}\binom{35}{13}\binom{22}{13}}\binom{13}{13}=\frac{220}{20825}\,N(0)\\ N(4)&=\binom{4}{4}\color{#C00}{\binom{48}{13}\binom{35}{13}\binom{22}{13}\binom{9}{13}}=0 \end{align} $$ donde el $4$ as se quitan de la cuenta en la red factores del binomio. Los principales factores del binomio recuento de los reordenamientos de los siguientes negro y rojo factores.

A continuación, utilizando la Generalizada Inclusión-Exclusión Principio, tenemos:

La probabilidad de un acuerdo donde todo el mundo tiene un as es $$ P(0)=\frac{\binom{0}{0}N(0)-\binom{1}{0}N(1)+\binom{2}{0}N(2)-\binom{3}{0}N(3)+\binom{4}{0}N(4)}{N(0)}=\frac{2197}{20825} $$ La probabilidad de un acuerdo donde exactamente $1$ persona no tiene un as es $$ P(1)=\frac{\binom{1}{1}N(1)-\binom{2}{1}N(2)+\binom{3}{1}N(3)-\binom{4}{1}N(4)}{N(0)}=\frac{12168}{20825} $$ La probabilidad de un acuerdo donde exactamente $2$ de las personas no tienen un as es $$ P(2)=\frac{\binom{2}{2}N(2)-\binom{3}{2}N(3)+\binom{4}{2}N(4)}{N(0)}=\frac{1248}{4165} $$ La probabilidad de un acuerdo donde exactamente $3$ de las personas no tienen un as es $$ P(3)=\frac{\binom{3}{3}N(3)-\binom{4}{3}N(4)}{N(0)}=\frac{44}{4165} $$ La probabilidad de un acuerdo donde exactamente $4$ de las personas no tienen un as es $$ P(4)=\frac{\binom{4}{4}N(4)}{N(0)}=0 $$ La probabilidad de un acuerdo donde, al menos, $2$ de las personas no tienen un as es $$ P(2)+P(3)+P(4)=\frac{76}{245} $$