Deje $B_t$ ser un Proceso de Wiener, a continuación, $U_t=B_t-tB_1,~0\le t \le 1$ es un puente Browniano.
Mostrar que $X_t=(1+t)U_{{t}/({1+t})}$ es un Proceso de Wiener. No estoy muy seguro de cómo empezar esto.
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
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Did
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El proceso de $(X_t)_{t\geqslant0}$ es gaussiano centrado y comienza a partir de $X_0=U_0=B_0=0$. Para $t\leqslant s$, la covarianza de $X_t$ $X_s$ $(1+t)(1+s)$ veces $$ \mathbb E((B_\tau\tau B_1)(B_\sigma\sigma B_1))=\mathbb E(B_\tau B_\sigma)-\tau \mathbb E(B_\sigma B_1)-\sigma \mathbb E(B_\tau B_1)+\tau\sigma\mathbb E(B_1^2), $$ donde$\tau=t/(1+t)$$\sigma=s/(1+s)$, por lo tanto $\tau\leqslant\sigma$. La aplicación de $\mathbb E(B_uB_v)=\min(u,v)$ por cada $(u,v)$ a cada término de los rendimientos $$ \mathbb E((B_\tau\tau B_1)(B_\sigma\sigma B_1))=\tau\tau\sigma\tau\sigma+\tau\sigma=\tau(1-\sigma), $$ por lo tanto $$ \mathbb E(X_tX_s)=(1+t)(1+s)\tau(1-\sigma)=t. $$ Esto demuestra que el proceso de $(X_t)_{t\geqslant0}$ es un estándar de movimiento Browniano.
