Primero, vamos a definir lo que es una medida de frente:
Dada una clase de $\mathscr{F}$ de los subconjuntos de un conjunto $\Omega$, una medida de frente:
$\mu:\mathscr{F}\to\mathbb{R}$
es una función con las siguientes propiedades:
(a)$\mu(A)\geqslant 0$ a en$\mathscr F$
(b)$\mu(\emptyset)=0$
(c)Para una contables de la colección de $A_j\in \mathscr{F},j\in\mathbb{N}$ $A_j\bigcap A_j´$ $j\neq j´$ $\bigcup_\limits{j}^{}A_j\in F$
$\mu(\bigcup_\limits{j}^{}A_j)=\sum_\limits{j}^{}\mu(A_j)$
Lesbegue medida es la longitud medida y es lo que normalmente se define como $\lambda$. Si tomamos un conjunto arbitrario $[a,b]$, $\lambda[a,b]=b-a$. Si lo desea puede ver la medida de Lebesgue en realidad se ajusta a la definición de una medida.
Si usted recuerda la Riemmann integral se puede escribir como $\int_\limits{a}^{b}f(x)dx=limit_{\triangle x}\to 0\sum_\limits{j}^{} f(x_j)\times\triangle x_j$ que $\triangle x_j$ puede ser el pensamiento de los subconjuntos del intervalo de $[a,b]$.
Si desea calcular la integral utilizando la medida de Lebesgue usted tiene:
$\int_\limits{a}^{b}fd\lambda=\sum_\limits{j}^{} f\mathbb{1}_{[a_j,b_j]}\lambda=\sum_\limits{j}^{} f(b_j-a_j)$ que $\mathbb{1}$ es el indicador de la función toma el valor uno si la función toma valor en la partición específica de $[a_j,b_j]$ y 0 en caso contrario.
Por lo tanto, ya no se requiere que la función sea continua.
La diferencia entre Lebesgue y la integral de Riemann es que no necesitan hacer uso de los infinitesimales $dx$ en lugar de romper la función en pequeñas particiones. Si la función es continua en el Lebesgue y de Riemann integral coinciden.
Usted puede tener la integral te gusta si cambia la medida. Mira la Dirac funcional, es un claro ejemplo. Puedo entregar el ejemplo siguiente, que fue una respuesta que me han dado en otro hilo:
Dirac medida $\delta_{x}$ $x$ es una medida de Borel definido por
$$
\delta_x(E)=\begin{cases}
1, & \mbox{ if }x\in E\\
0, & \mbox{ if }x\notin E
\end{casos},
$$
donde $E\subseteq\mathbb{R}$ es un conjunto de Borel.
Dado un Borel función de $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, tenemos
$$
\int f\,d\delta_{x}=\int_{\{x\}}f\,d\delta_{x}+\int_{\{x\}^{c}}f\,d\delta_{x}=f(x)\delta_{x}(\{x\})+0=f(x).
$$
