Unas pequeñas preguntas sobre cuántico de espín y rotaciones

Question

Estoy estudiando acerca de la cuántico de espín (en un programa de estudio sobre la cuántica no relativista de la mecánica), pero tengo algunos problemas para entender todo. Así que me gustaría hacerle unas pequeñas preguntas, que tal vez pueden aclarar la imagen como un todo.

Así que ellos están tratando de determinar la influencia de una rotación espacial, para el estado en las dos dimensiones de spin-espacio. Así que tratan de determinar el operador $Û_R$ responsable de esta rotación (que actúa sobre el spin-espacio y por lo tanto está representado por una matriz de 2x2).

Para hacerlo, primero se intenta determinar la $Û_{\epsilon}$ que es la infinitesimal unitario operador para la rotación sobre un ángulo infinitesimal $\epsilon$ y afirman que un operador puede ser escrita como: $$Û_{\epsilon}= 1-i\epsilonÂ$$ with $Â * $ hermitic. So $Â$ también actúa sobre las dos dimensiones de spin-espacio y puede ser representado por una matriz de 2x2. Hasta ahora tan bueno.

Pero ahora dicen que $Â$ tiene que ser construido de tal manera que $<\chi\vert\chi>$ $<\chi'\vert\chi'>$ $<\chi'\vert\chi>$ son de rotación-invariante. Donde $\vert\chi>$ $\vert\chi'>$ son miembros de las dos dimensiones de spin-espacio y $\vert\chi'> = Û_{\epsilon}\vert\chi>$. Lo que no entiendo es:

1) ¿Qué se entiende por rotación de la invariancia? Porque si vamos a rotar $\vert\chi>$ $\vert\chi'>$ tomando la acción de un unitario de rotación-operador $Û_{\theta}$ , entonces estos inproducts son necesariamente conservadas, lo $Â$ puede ser. Así que supongo que significa algo más.

2) ¿por Qué debe $Â$ ser construido de modo que esto es cierto? Tal vez esto será claro si entiendo 1) aunque.

Además, añaden que este puede ser el caso sólo si: $$Â = \vec{1}_n\cdot\vec{Â} = \frac{1}{2}\vec{1}_n\cdot\vec{\sigma}$$ Con $\vec{Â}$ $\vec{\sigma}$ hermitical operadores vectoriales. Así que me pregunto:

3) ¿por Qué es este el caso solamente si esto es cierto?
4) Algo más que mencionar también que $Tr(\sigma_z) = 0$, pero yo no veo aquí también por qué esto tiene que ser el caso.

Espero que alguien pueda responder a una (o más) de estas preguntas, creo que será de gran ayuda en la comprensión de las otras reclamaciones del capítulo sobre cuántico de espín.

Answer 1

Debido a que toda la estructura de la mecánica cuántica está codificada en el interior del producto, el interior de los productos son precisamente lo que una simetría debe conservar. Sin embargo esta es una cuestión de cómo poner en práctica la simetría, mientras que sus otras preguntas que parecen estar relacionados con la estructura del grupo de simetría. Primero voy a hablar de la rotación del grupo que actúa en el mundo de los vectores, ya que esto es lo que define la rotación del grupo.

De un número finito de rotación adecuada de actuar en el mundo de los vectores, es decir, un $3\times 3$ ortogonal de la matriz puede ser construido a partir de sucesivas rotaciones infinitesimales: $$U_n(\theta) = (1 - \frac{\theta}{n} \hat A)^n.$$ Aquí adecuada significa que $U$ preserva orientación; esto implica $\det U = 1$. En el límite de $n \to \infty$ esto es $$U(\theta) = e^{-\theta \hat A}.$$

Ahora de $$1 = U^T U = e^{\theta \hat A^T}e^{\theta \hat A}$$ y tomando la derivada con respecto a $\theta$, $$0 = \hat A^T e^{\theta \hat A} e^{\theta\hat A} + e^{\theta\hat A^T} \hat A e^{\theta\hat A} = \hat A^T + A$$ tenemos que $A$ debe ser anti-simétrica. A partir de la rotación de las matrices de $$R_x(\theta)= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin\theta & \cos \theta &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ y lo mismo para $y,z$ y tomando el $\theta$ derivado de encontrar una base para estas matrices tales que el $$[\pi_x, \pi_y] = -\pi_z$$ y cíclicamente.

Ahora esto es todo lo que actúa sobre el mundo de los vectores y no estados cuánticos. Para implementar esto en estados cuánticos cualquier conjunto de matrices $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ de manera tal que estas relaciones de conmutación sostener va a hacer, no necesariamente $3\times 3$ y posiblemente complejas. Esto le da a las representaciones de rotaciones infinitesimales. Consigue finito rotaciones, utilice el mapa exponencial. Ahora bien, desde la simetría debe preservar el interior de los productos, debemos tener (por los argumentos de las otras respuestas) $$U^\dagger U =e^{\theta \sigma_x^\dagger}e^{\theta \sigma_x} = 1.$$ Repitiendo el argumento anterior muestra que el $\sigma_x$ debe ser anti-Hermitian. Sin embargo, si $\sigma_x$ es anti-Hermitian $\tilde\sigma_x = -i\sigma_x$ es Hermitian y el colector es $$[\tilde \sigma_x, \tilde \sigma_y] = \tilde\sigma_z$$ y este es el más conocido físico de la versión.

A partir de las relaciones de conmutación de ello se deduce que los valores propios de la $\tilde\sigma$ matrices vienen en entero pasos y son simétricas alrededor de $0$. Dado que la traza es la suma de los valores propios, las matrices deben ser traceless.

Así, en la conclusión de que $$U = e^{-i\theta\tilde{\sigma}}$$ es unitaria sólo requiere que $\tilde{\sigma}$ es Hermitian. Sin embargo a partir de la estructura de la rotación de grupo, se deduce que el $\tilde{\sigma}$ es también traceless.

Answer 2

1) creo que se refieren a una rotación con una matriz unitaria. Pero $\hat U$ será unitaria no para todos los $\hat A$ : se necesita que la $\hat A$ es hermitian (esto es una limitación de la $\hat A$).

2) Si $\hat A$ no es que estos productos son invariantes, entonces la matriz $\hat U$ no es unitaria, y esto es un problema. Todo lo que da restricciones en $\hat A$.

3) Todos los dos-por-dos unitario de la matriz se puede escribir como una suma de $a \mathbf{1}+b_1 \sigma_x+b_2 \sigma_y+b_3 \sigma_z$ (que es $\mathbf{1}$ además de las matrices de Pauli formar una base en el espacio de la 2-por-2 unitaria de las matrices). Luego, debido a que $Tr(\hat A)=0$ (véase la respuesta a la cuarta pregunta), $a=0$.

4) Debido a que $\hat U$ es unitaria, $\det \hat U=1$, lo que implica que $Tr \hat A=0$.

Answer 3

1 & 2) yo creo que con rotación invariantes que significan las transformaciones que no cambian el interior del producto: \begin{equation} \langle \chi|\chi\rangle \rightarrow \langle \chi'|\chi'\rangle = \langle \chi|U^\dagger U |\chi\rangle \end{equation} lo que claramente se conserva si $U$ es unitaria. Esto también debe responder a la pregunta 2, porque un verdadero simetría transformación no cambia el interior del producto (de modo que las probabilidades no cambian antes y después de la simetría de la transformación). Sin embargo, $\langle \chi'|\chi\rangle$ no se conserva y me pregunto si esto puede ser un error tipográfico?

Como nota lateral: matemáticamente, $U$ también podría ser anti-unitario: \begin{equation} \langle \chi_1|\chi_2\rangle \rightarrow \langle \chi'_1|\chi'_2\rangle = \langle \chi_1|U^\dagger U |\chi_2\rangle = \langle \chi_2|\chi_1\rangle \end{equation} pero esto es bastante inusual (y nunca he estudiado formalmente, así que no tengo mucha información sobre ella).

3) $2 \times 2$ traceless y Hermitian de la matriz puede ser escrita como: \begin{equation} x=x_i \sigma_i = \begin{pmatrix} x_3 & x_1 - ix_2 \\ x_1 + ix_2 & -x_3 \end{pmatrix} \end{equation} donde $\sigma_i$ el valor de las matrices de Pauli.

4) Rember que $\sigma_z$ indica el $z$ Pauli de la matriz.