Euler-Lagrange en conjunto restringido

Question

Estoy leyendo un capítulo del libro de Evan sobre métodos de convergencia débil para EDP no lineales p.49 y dice que la ecuación de Euler Lagrange para la funcional \begin{equation} I[w]:=\int_U|Dw|^2 \end{equation} (para algún dominio abierto y acotado, $U\subset \mathbb{R^n}$ para $n\ge 2$ con límite suave) en el conjunto $$\mathcal{A}:=\{w\in W^{1,2}(U,\mathbb{R^m}) : |w|=1 \text{ a.e. and } w=g \text{ on } \partial U\}$$ viene dada por la solución de $$ \begin{cases} -\Delta u=|Du|^2u \\ |u|=1 \text{ a.e. } \end{cases} $$ en $U$ .

Mi pregunta es: ¿cómo han conseguido esto? Realmente no he hecho mucho cálculo de variaciones antes, pero creo que cuando se ignora que está restringiendo los posibles $w$ la función minimizadora es sólo una con $\Delta u =0$ pero no sé cómo utilizar E-L para los casos en que las funciones posibles son restringidas.

Además, ¿existe una forma general de abordar estas cuestiones?

Gracias.

Answer 1

Queremos demostrar que $$\int_U Du:Dv=\int_U|Du|^2u\cdot v,\ \forall\ v\in W_0^{1,2}(U;\mathbb{R}^m)\cap L^\infty(U,\mathbb{R}^m)$$

Supongamos que $u\in\mathcal{A}$ es un punto crítico de $I$ . Toma $v\in W_0^{1,2}(U;\mathbb{R}^m)\cap L^\infty(U,\mathbb{R}^m)$ y observe que para las pequeñas $t\in\mathbb{R}$ tenemos que $u+tv\neq 0$ a.e. en $U$ . Definir $$u_t=\frac{u+tv}{|u+tv|}$$

I - Demostrar que para las pequeñas $t\in\mathbb{R}$ , $u_t\in W^{1,2}(U,\mathbb{R}^m)$ ,

II - Computación $$\frac{d}{dt}I[u_t]_{t=0}$$

Para concluir, hay que tener en cuenta que $\displaystyle\frac{d}{dt}I[u_t]_{|t=0}=0$ .