Considere la posibilidad de una variable aleatoria $X$, con una media de cero ($\mu_X = 0$), se conoce la varianza ($\sigma_X^2$), y todos los otros momentos finitos, pero desconocido. Estoy interesado en obtener una estimación del valor esperado de la parte positiva de esta variable aleatoria, es decir, dado $X^{+} \equiv \max(0, X)$ quiero $\mathbb{E}(X^{+})$. De preferencia, esto sólo sería una función de la varianza como yo no tengo ninguna otra información, pero esto puede no ser posible.
Es simple de aplicar un estándar de la serie de Taylor enfoque a este problema, por ejemplo, si $f$ es la parte positiva de la función:
$$\mathbb{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu _{X})+{\frac {f''(\mu _{X})}{2}}\sigma _{X}^{2}$$
Sin embargo, como $\mu_X = 0$, tenemos que encontrar la $f''(\mu_X)$, que no está definido. Es fácil hacer una función que converge a $X^+$ en algunos límite y se ha definido $f''(\mu_X)$, pero este comportamiento no es el único, así que no espero que el comportamiento de esta función se aplican también a $X^+$.
Es que no es difícil mostrar que $\mathbb{E}(X^{+}) < \sigma_X$, pero me gustaría saber algo como $\mathbb{E}(X^{+}) \approx \alpha \, \sigma_X$ donde $\alpha$ es una constante a determinar. (Gracias a stud_iisc para señalar que la desigualdad es estricta.)
Si es necesario suponer que el $X$ es de Gauss para obtener un resultado, que puede ser aceptable, a pesar de $X$ no puede ser de Gauss.
(Esto es para mi investigación de Doctorado en dinámica de fluidos, y usted probablemente recibirá acuse de recibo en un artículo que voy a publicar si eres capaz de ayudar. También, me tomó una medida teórica de la probabilidad de la clase hace varios años, por lo que si la prueba requiere la teoría de la medida estaría interesado en verlo, aunque yo sin duda tendrá que revisar el tema a mí mismo para entender la prueba.)
