Definición de números reales similar a la del IEEE 754

Question

Una vez que haya mapeado, geométricamente o por $\sin\left( \arctan\left( x \right) \right)$ la gama $\left[ 0,+\infty \right[$ en $\left[ 0,1 \right[$ es muy "bonito" escribir números (reales) en $\left[ 0,1 \right[$ como
$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{a}_{k}}}{{{2}^{k}}}}\quad \left( {{a}_{k}}\in \{0,1\} \right)$$
AFAIK la serie converge, ya que
$$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{2}^{k}}}}$$
converge y también es Cauchy.

Me gusta esta definición ya que se parece mucho a la norma IEEE 754 para los puntos flotantes, y, ya que cada conjunto $\{{{a}_{1}},{{a}_{2}}...,{{a}_{n}},...\}$ puede ponerse en correspondencia con un miembro de $\wp \left( \mathbb{N} \right)$ y

$\left| \mathbb{N} \right|<\left| \wp \left( \mathbb{N} \right) \right|$ , obtenemos, para los números así representados, un argumento similar al "teorema de la diagonal" de Cantor.

Mi problema es que esos "números" no se pueden sumar fácilmente (ni multiplicar) ya que (déjame adivinar) el mapa $\sin\left( \arctan\left( x \right) \right)$ no es lineal.

¿Hay alguna forma de hacerlo o de demostrar que la definición anterior es equivalente a las habituales (por ejemplo, los cortes de Dedekind)?

Answer 1

La razón por la que estos números no se pueden sumar es porque dan todos los números reales en $[0,1]$ ¡! Sería muy extraño que hubiera una forma fácil de resumir una serie que diera algún número trascendental extraño. ¡Algunos de ellos son incluso no computables!

Es bastante fácil demostrar que esto es lo mismo que la definición de la secuencia de Cauchy de los números reales: Identificar cada límite con la secuencia de sumas parciales. Luego hay que demostrar que para cada clase de secuencias de Cauchy, hay una secuencia que cae dentro de ella.