Funciones lineales nilpotentes

Question

Dejemos que $A \in M_{n}(K)$ sea una matriz nilpotente, donde $M_n(K)$ es el espacio de $n \times n$ matrices sobre el campo $K$ . Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes :

(i) $\mu _A = \chi _A (= \lambda^n).$ (Los polinomios mínimo y característico son iguales).

(ii) $A^{n-1}\neq 0.$

(iii) $\operatorname{rank} A =n{-}1.$

(iv) Existe un vector $x \in K^n$ tal que $A^i x$ , $i = 0, \dots, n-1$ es un $K$ -base de $K^n.$

Podría demostrar las implicaciones (i) $\iff$ (ii).

Para demostrar que (ii) $\iff$ (iii), tengo conmigo el siguiente ejemplo:

Dejemos que $v_1, v_2, \dots, v_n$ sea una base de $K^n$ . Definir un $K$ -mapa lineal $f:K^n \to K^n$ donde $f(v_i):=v_{i+1},\ i=1,...,n{-}1$ y $f(v_n)=0$ . Se trata de una función nilpotente con $f^{n-1}\neq 0$ y $\operatorname{rank} f=n{-}1$ .

Ahora la pregunta es: ¿Puede cualquier matriz nilpotente de rango $n-1$ ¿se puede expresar como la función anterior por cambio de base? ¿Cómo puedo demostrar que dicha base existe? Si puedo hacer esto, la prueba sigue. O bien, por favor, sugiera otras formas de demostrar la equivalencia de los enunciados.

Answer 1

Permítanme demostrar (ii) $\Leftrightarrow$ (iv):

Supongamos que $A^{n-1}\ne 0$ . Luego está $x$ con $A^{n-1}x\ne0$ . Los vectores $x, Ax, \dots , A^{n-1}x$ son linealmente independientes: Supongamos que hay coeficientes $a_i$ tal que $$a_0 x + a_1 Ax + \dots a_{n-1}A^{n-1} x =0.$$ Dejemos que $i$ sea el menor índice tal que $a_i\ne0$ . Multiplicando la ecuación anterior por $A^{n-1-i}$ rinde $a_i A^{n-1}x=0$ Por lo tanto $a_i=0$ . Así, $a=0$ y los vectores son linealmente independientes (y una base de $K^n$ ).

Supongamos que $x,Ax,\dots A^{n-1}x$ es una base de $K^n$ . Entonces $A^{n-1}x\ne0$ , lo que implica $A^{n-1}\ne0$ .

El mismo argumento demuestra también (ii) $\Rightarrow$ (iii): Aplicación de $A$ a los vectores base $x,Ax,\dots, A^{n-1}x$ muestra que la imagen de $A$ está atravesado por $Ax,\dots,A^{n-1}x$ que son linealmente independientes. Por lo tanto, el rango de $A$ es $n-1$ .

Permítanme demostrar (iii) $\Rightarrow$ (ii): Por los supuestos, tenemos $\dim\ker(A)=1$ . Entonces $\dim(\ker A^{k+1})-\dim(\ker A^{k})\le1$ : Supongamos que $A^{k+1}x=0$ pero $A^kx\ne0$ . Entonces $A^kx\in \ker(A)$ . Consideremos ahora la cadena de inclusiones $$\ker(A)\subset \ker(A^2)\subset \dots\subset \ker(A^n) =K^n.$$ La dimensión de estos subespacios aumenta como mucho en uno de una inclusión a otra. Esto implica $\dim(\ker A^k)=k$ y $A^{n-1}\ne0$ .