Números naturales verificación de $P(n) = n^2 - 42n + 440$ donde $P(n)$ es el producto de los dígitos

Question

Deje $P(n)$ ser el producto de los dígitos del número de la $n$,$n \in \mathbb{N}$.

¿Cuál es el producto de todos los números naturales $n$ que verifican la ecuación de $P(n) = n^2 - 42n + 440$?

Yo factorizados el polinomio para obtener $P(n) = (n - 20)(n - 22)$. Entonces observé que $n = 20$ es una solución, porque la $P(20) = 0$.
Pero en este punto me quedé atrapado, así que escribí un Haskell programa que calcule las soluciones para mí. Después de dejar que se ejecute durante un tiempo he comprobado la salida, que fue: $[18, 20, 24]$. Así que al parecer la respuesta es $18 \cdot 20 \cdot 24 = 8640$.

¿Cuál es la correcta, de manera matemática para resolver esto?

Answer 1

Abundando en el comentario dado por fixedp:

El número de dígitos en $n\in\mathbb N$ es igual a $\lfloor\log n\rfloor+1$. Esto es cierto ya que $n=10^{\log n}$ por lo que el mayor poder de la $10$ que es menor o igual a $n$ $10^{\lfloor\log n\rfloor}$ ha $\lfloor\log n\rfloor+1$ dígitos, y así no $n$. Ya que cada dígito de $n$ es en la mayoría de las $9$, se deduce que $$ P(n)\leq 9^{\lfloor\log n\rfloor+1}<10^{\log n+1}=10n $$ desde este bound es una expresión lineal en $n$ $(n-20)(n-22)$ es una ecuación cuadrática expresión vemos que $P(n)<10n<(n-20)(n-22)$ $n$ lo suficientemente grande. La resolución de la igualdad de $10x=(x-20)(x-22)$ rendimientos $x\approx10.64$ o $x\approx41.36$, por lo que la única gama que comprobar es $n\in\{11,12,...,41\}$. En concreto, los números de dos dígitos aplicar!

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Asumiendo $n=10a+b$ debemos resolver $ab=(10a+b-20)(10a+b-22)$ que es una curva elíptica con el siguiente número entero soluciones: Enlace a Wolfram Alpha de Cálculo.

Esto muestra de manera positiva y definitivamente que los numers $18,20,24$ son de hecho las únicas soluciones.

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En realidad, se puede reducir el número de números para comprobar una vez más, ya que ahora sabe que $n\leq 41$$P(n)\leq P(39)=3\cdot 9=27$. La solución de $27=(x-20)(x-22)$ rendimientos $x\approx 15.71$ o $x\approx 26.29$. Así que ahora solo necesitamos comprobar el rango de $n\in\{16,17,...,26\}$. Difícilmente podría ser más fácil ahora ...

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Si usted no puede dejar de usted mismo, usted puede aplicar el mismo método a ha $P(n)\leq P(26)=2\cdot 6=12$ y solucionar $12=(x-20)(x-22)$ conseguir $x\approx 17.39$ o $x\approx 24.6$ y, por tanto,$n\in\{18,19,...,24\}$. Voila!

Answer 2

Deje $n = \sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot 10^i$ ser un número con $k$ dígitos y $d_i \in \{0,...,9\}$. Entonces

$$P(n) := \prod_{i=0}^{k-1} d_i$$

Así que la pregunta es cuáles son las soluciones para la ecuación

\begin{align} P(n) &= n^2 - 42n + 440\\ \Leftrightarrow \prod_{i=0}^{k-1} d_i &= \left ((\sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot 10^i)-20 \right ) \cdot \left ((\sum_{i=0}^{k-1} d_i \cdot 10^i)-22 \right)\\ \end{align}

Restricciones de soluciones

• Sabemos que cada solución es un número natural (de ahí > 0).
• Como cada dígito en la mayoría de las $9$, el lado izquierdo de la ecuación es en la mayoría de las $9^k = 9^{\lfloor \log n \rfloor + 1} = 9 \cdot 9^{\lfloor \log n \rfloor} < 9 \cdot 9^{\log n} = 9 \cdot n^{\log{9}} < 9 \cdot n$.
• Es fácil mostrar que $\exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n > n_0: n^2- 42n+440 > 9 n$ es cierto:

\begin{align} n^2- 42n+440 &\geq 9n\\ \Leftrightarrow n^2- 51n+440 &\geq 0\\ \Leftrightarrow (n-11) \cdot (n-40) &\geq 0 \end{align}

• Así, por $n > n_0 = 40$ sabemos que no puede haber una solución.

Verificación de los candidatos

Utilice la siguiente secuencia de comandos de Python para comprobar el restante 40 candidatos:

#!/usr/bin/env python


def P(n):
    prod = 1
    for digit in str(n):
        prod *= int(digit)
    return prod


def check(n):
    return P(n) == n**2 - 42*n + 440


if __name__ == '__main__':
    for i in range(41):
        if check(i):
            print(i)

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