La imagen de la mitad superior del plano complejo, en virtud de la función de $g(z) = e^{2\pi i z}$

Question

Problema: Dado $W = \{z: z=x+iy, \ y>0\}$ $g(z) = e^{2 \pi i z},$ lo hace el conjunto de $g(W)$ aspecto, y es simplemente conectado?

Intento: $W$ representa la mitad superior plano complejo. Y $$g(z) = e^{2 \pi i (x+iy)} = \cdots = e^{-2\pi y}(\cos (2 \pi x) + i \sin (2 \pi x)).$$ (Estoy en el camino correcto?)

Sé que conecta simplemente significa que no hay agujeros en el set, pero no sé cómo describir el conjunto geométricamente.

Otro intento: Desde $e^{2 \pi i z} = e^{-2 \pi y}(e^{2 \pi i x})$ $|e^{2 \pi i z}| = |e^{-2 \pi y}|$ $y>0 \implies |e^{-2 \pi y}| \in (0,1).$ $|e^{2 \pi i z}| \in (0, e^{2 \pi i x}).$

A la derecha?

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Me gusta tu primer intento muy bien, y el "nuevo intento" bastante menos bien, salvo que por "$(0,e^{2\pi ix})$" te refieres al abrir recta segmento de línea desde el origen hasta el punto de $(\cos x, i\sin x)$ sobre el círculo unidad. Creo que lo que usted tiene ya debería ser suficiente para responder a sus preguntas, siempre y cuando usted se pregunta si existen los puntos que faltan en la imagen de conjunto ("rango").