grupo tabla de multiplicación

Question

Realmente me miraba a través de la web y buscar un ejemplo que se me va a entender. No entiendo cómo completar una tabla de multiplicación! (todos los ejemplos que he encontrado el elemento de Identidad fue dado)

$G=\{a,b,c\}$

y sé que $aa=b$

¿cómo puedo empezar a partir de aquí? (todo lo que sé que en cada fila y columna de cada elemento debe aparecer exactamente una vez)

Answer 1

Ciertamente, $a$ no es la identidad(en caso Contrario $aa=a$). También sabemos que $b$ no es la identidad (en caso Contrario $|a|=2$, esto se contradice del teorema de Lagrange). Tomamos nota también de que todo grupo de orden 3 es cíclico. Así, $a=a,b=a^2,c=a^3$ ($c$ es la identidad). Ahora es fácil encontrar el resto de la tabla.

Answer 2

$G = \{a, b, c\}$, para el grupo $G$, y estamos asumiendo $a, b, c$ distintas: es decir $|G| = 3.$
Y sabemos $aa = b$

• Dado $aa = b$, $a$ no puede ser la identidad. Si lo fuera, tendríamos $aa = a$.
• $b$ no la identidad: si lo fuera, entonces el orden de $a$ tendría que ser $2$, que no divide el orden de $G = 3$ (del teorema de Lagrange).
• Por lo $c$ debe ser la identidad, puesto que $G$ es un grupo, uno de $a, b, c$ debe ser el elemento de identidad.

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• Cada grupo de orden 3 es cíclico. Así que uno de los elementos genera las otras dos (y, por supuesto, es su propio generador!): sabemos $a = a, aa = b.$ Ahora, ¿cuál debe ser el valor de: $aaa = \;?\;$

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• El resto de la tabla debe fácilmente caer. Como se observa:
  

  Cada elemento de a $a, b, c$ se produce sólo una vez y sólo una vez en cada columna y en cada fila.

Answer 3

Esto puede ser de ayuda para usted: http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_table