Determinante De La Matriz

Question

Así que me estoy leyendo a través de mi libro de texto de álgebra lineal a la revisión de mi final, y topé con esta declaración:

El determinante de una matriz con un resultado positivo de las entradas debe ser positivo.

La parte superior de mi cabeza, no puedo pensar de una excepción a esto:

$$A=\begin{bmatrix}1 & 2\\8 & 3\end{bmatrix}$$

donde $\det A= (1\cdot 3) - (2\cdot 8) = 3 - 16 = -13$

Estoy interpretando mal lo que estoy leyendo, o es una errata?

El libro es Elemental Álgebra Lineal, 2ª ed. por Spence, Insel, Friedberg

Answer 1

El libro está mal.

Tomar cualquier matriz cuadrada con un tamaño de $\ge2$ y todas las entradas positivas. Si su determinante es positivo, el intercambio de cualquiera de las dos filas. A continuación, el factor determinante será negativo. Así, siempre es posible obtener un negativo determinante de la matriz con un resultado positivo de las entradas de un positivo factor determinante uno con un resultado positivo de las entradas.

Answer 2

La sentencia, aplicado a las matrices cuadradas - en general - está equivocado: Esto debe ser un error de impresión, a menos que la frase aparece en un contexto específico con otros requisitos que pueden haber quedado fuera.

Por ejemplo, si la discusión es acerca de la plaza triangular matrices, cuya no-cero todas las entradas son positivos (o con las positivas sólo las entradas en la diagonal), entonces la afirmación es verdadera.

Así que, ya que no tengo el texto a que se refieren, para examinar en qué punto en el texto, y en qué contexto, la frase aparece, no puedo decirlo con seguridad.

Pero si es un mundial de declaración sobre el determinante de todas las matrices cuadradas con todo positivo entradas, entonces la oración es descaradamente no verdadero.

Answer 3

Mi conjetura es que el libro se estaba refiriendo a positivo-definida matrices, que son a menudo llamado simplemente "positivo matrices". Esto no es lo mismo que tener todo positivo entradas. La definición más simple de la positivo-definida por las matrices es que todos los valores propios son positivos. En este caso, es claro que el factor determinante es también positivo, ya que el determinante de una matriz es el producto de sus valores propios (contados con multiplicidades algebraicas).

Answer 4

Creo que el libro tiene una errata, porque la frase, aplicado a las matrices cuadradas en general es falsa.