$f(x)f(1/x)=f(x)+f(1/x)$

Question

Encontrar una función $f(x)$ tal forma que:

$$f(x)f(1/x)=f(x)+f(1/x)$$

con $f(4)=65$.

He tratado de dejar $f(x)$ general polinomio: $$a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots a_nx^n$$

que deja a $f(1/x)$ como:

$$a_0+a_1{1\over x}+a_2{1\over x^2}+\ldots + a_n{1\over x^n}$$

En la comparación de los coeficientes de ambos lados, vemos que:

$$2a_0=(a_0)^2+(a_1)^2+(a_2)^2+\ldots+(a_n)^2$$

Y

$$a_1=(a_0a_1)+(a_1a_2)+ \ldots +(a_{n-1}a_n)$$

No sé cómo proceder. Yo sé que tengo que comparar los coeficientes y se llega a una conclusión basada en sus valores, pero no veo de qué hacer a continuación.

Answer 1

$\bf{My\; Solution}::$ $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right) = f(x)\cdot f\left(\frac{1}{x}\right)......................(\star.)$

Ahora podemos escribir $(\star)$ $$\displaystyle f(x) = \frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{f\left(\frac{1}{x}\right)-1}..........................................(\star\star)$$

Ahora, de nuevo, podemos escribir la $(\star)$ $$\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{f(x)}{f(x)-1}............................................(\star\star\star)$$

Ahora Multiplique estas dos ecuaciones, obtenemos $\displaystyle \left[f(x)-1\right]\cdot \left[f\left(\frac{1}{x}-1\right)\right]=1$

Ahora Vamos A $f(x)-1 = g(x)\;\;,$ $$f\left(\frac{1}{x}\right)-1 = g\left(\frac{1}{x}\right)$$

Así que la ecuación de convertir en $$\displaystyle g(x)\cdot g\left(\frac{1}{x}\right) =1$$

Ahora si $g(x)$ es un polinomio, Entonces $g(x) = \pm x^n$. Por lo $f(x) = 1\pm x^n$

Ahora $$f(4) = 65\;,$$ So $$f(x)=1+x^n\;,$$ So put $x=4\;,$ We get $n=3$

Así, obtenemos $$f(x)=1+x^3$$

Answer 2

Como otras respuestas muestran, hay una gran clase de soluciones para su funcional de la ecuación si no restringir $f$ más. Según su petición, vamos a probar la restricción de que el $f$ debe ser un polynomal.

Dos polinomio soluciones de saltar en nuestros ojos, es decir, el polinomio cero $f(x)=0$$f(x)=2$. Ninguno de estos ha $f(4)=65$, sin embargo.

Si $f$ es un polinomio de grado $n>0$, dicen $$f(x)=a_0+a_1x+\ldots +a_nx^n$$ with $a_n\ne 0$, then $\hat f(x)x^nf(1/x)$ es también un polinomio, es decir, $$ \hat f(x)=x^nf(1/x)=a_n+a_{n-1}x+\ldots+a_0x^n.$$ Observar que $a_0$$0$, por lo que posiblemente $\deg\hat f<n$. El funcional de la ecuación se convierte después de la multiplicación con $x^n$ $$ f(x)\hat f(x)=x^nf(n)+\hat f(x)$$ o $$\tag1 f(x)\cdot(\hat f(x)-x^n)=\hat f(x).$$ Pero si me multiplicar el dgeree $n$ polinomio $f(x)$ con el polinomio $\hat f(x)-x^n$ y obtener el polinomio $\hat f(x)$ que tiene el grado $\le n$, llegamos a la conclusión de que $\hat f(x)-x^n$ debe ser constante. Que implica $a_0=1$$a_1=\ldots=a_{n-1}=0$, lo $f(x)=a_nx^n+1$ $(1)$ se simplifica a $$ (a_nx^n+1)\cdot a_n = x^n+a_n$$ Esto permite que sólo $a_n=\pm1$. Para cumplir con la restricción $f(4)=65$, tenemos $\pm 4^n=65-1$, por lo que la señal positiva y exponente $3$. Llegamos a la conclusión de que $${f(x)=x^3+1}. $$

Answer 3

Suponiendo que $f$ es distinto de cero, podemos reescribir esta ecuación como: $$\frac{1}{f(x)} + \frac{1}{f(1/x)} = 1$$

Haciendo la sustitución de $g(y) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{f(e^y)}$, obtenemos la ecuación funcional $g(y) + g(-y) = 0$, que simplemente dice que $g$ es impar.

Esta ecuación puede resolverse, con la condición inicial, mediante el establecimiento $g(y) = cy$ para un adecuado constante $c$.

Answer 4

Tenga en cuenta que enchufar $x=1$, obtenemos $$f(1)^2 = 2f(1) \implies f(1) = 0 \text{ or }2$$ Del mismo modo, conectar $x=-1$, obtenemos $$f(-1) = 0 \text{ or }2$$ Tenemos $$f(1/x)(f(x) - 1) = f(x) \implies f(1/x) = \dfrac{f(x)}{f(x)-1}$$ Por lo tanto, para $\vert x \vert > 1$ definir $f(x) = g(x)$ tal que $g(x) \neq 1$ todos los $\vert x \vert >1$. A continuación, definir $$f(1/x) = \dfrac{g(x)}{g(x)-1}$$ Por lo tanto, existe una amplia clase de funciones posibles dada por $$f(x) = \begin{cases} 0 \text{ or }2& x = \pm1\\ g(x) & \vert x \vert > 1 \text{ such that }g(x) \neq 1\\ \dfrac{g(1/x)}{g(1/x)-1} & \vert x \vert < 1 \text{ and }x \neq 0 \end{casos}$$

Answer 5

Siguiendo @user17762 la respuesta, supongamos $f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i$ donde$a_n\ne 0$$n\ge 1$,$f=g$$|x|>1$,$|x|<1$,

$$\sum_{i=0}^n a_i x^i=\frac{\sum_{i=0}^n a_i x^{-i}}{\sum_{i=0}^n a_i x^{-i}-1}=\frac{\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}}{\sum_{i=0}^n a_i x^{n-i}-x^n}$$

Para la RHS a ser un polinomio tiene $a_0=1$ o $a_0\ne 1$ $a_i=0$ $i>0$ (lo que contradice $a_n\ne 0$). Ahora el numerador tiene el más alto poder de $n$, por lo que en el lado izquierdo, por lo que el denominador tiene que ser constante, es decir,$a_i=0$$0<i<n$, ahora $f(x)=c x^n+1$ algunos $c\ne 0$. Poniendo esto en el ha $c=\pm 1$. La solución de este para $x=4$ da su resultado.