Local de Langlands correspondencia: Weil-Deligne grupo

Question

Mientras leía el libro 'Langlands correspondencia bucle for groups", me llegó a través de la definición de la Weil grupo $W_F$ y la de Weil-Deligne grupo $W'_F = W_F \ltimes \mathbb{C}$ con acción $$\sigma x\sigma^-1 = ||\sigma||x, \sigma \in W_F,x\in \mathbb{C}.$$ En ella, se dará la definición de una $n$-dimensiones representación compleja de $W'_F$:

"Una $n$-dimensiones representación compleja de $W'_F$ es por definición un homomorphism $\rho': W'_F \rightarrow GL_n(\mathbb{C})$, lo que puede ser descrito como un par de $(\rho,u)$ donde $\rho$ $n$- dimensiones de la representación de $W_F$, $u \in \mathfrak{gl}_n (\mathbb{C})$, y tenemos $\rho(\sigma)u\rho(\sigma) = ||\sigma||u$."

Ahora, yo entiendo lo $\rho$ significa y por qué se defina la acción de $\rho(\sigma)$$\rho'(\mathbb{C})$, pero no entiendo el significado de $u \in \mathfrak{gl}_n (\mathbb{C})$, no debería ser $u \in GL_n(\mathbb{C})$ ?

Para una referencia del libro: http://goo.gl/pq5XZen la página 4.

Answer 1

En esta formulación (que es completamente estándar), la imagen de $1\in \mathbb{C}$ bajo $\rho'$ no es, como se podría esperar, $u$ sino $\text{exp}(u)$, que es, de hecho, en $GL_n(\mathbb{C})$. $u$ sí es nilpotent, y es generalmente llamada la monodromy operador adjunto a la de Weil-Deligne representación $\rho'$. Usted debe comprobar que la alegada relación $\rho(\sigma)u\rho(\sigma)^{-1}=||\sigma||u$, entonces tiene (se le olvidó a la inversa).

Una muy buena referencia de esta es la Tate en su artículo "el Número teórico de fondo" en "Automorphic Formas, Representaciones, y L-funciones", en Actas de los Simposios en Matemática Pura, Volumen 33, Parte 2.