Cómo probar esta serie: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left ( -1 \right )^{n}\ln n}{n}=\gamma \ln 2-\frac{1}{2}\ln^22$

Question

Cómo probar esta serie $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left ( -1 \right )^{n}\ln n}{n}=\gamma \ln 2-\frac{1}{2}\ln^22$$ y \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left ( -1 \right )^{n}\ln \left ( n+1 \right )}{n+1}&=\frac{1}{2}\ln^22-\gamma \ln 2\\ \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left ( -1 \right )^{n}\ln \left ( n+2 \right )}{n+2}&=\gamma \ln 2-\frac{1}{2}\ln^22-\frac{1}{2}\ln 2 \end{align*} Así que quiero saber, es que hay una forma cerrada para

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left ( -1 \right )^{n}\ln \left ( n+k \right )}{n+k}~~~\left ( k>0 \right )$$

Answer 1

Tenemos, por cualquier $\alpha>1$: $$ \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n^\alpha} = (2^{1-\alpha}-1)\cdot\zeta(\alpha) \tag{1}$$ por lo tanto el resultado principal (o uno secundario a un cambio de la suma de variables) de la siguiente manera de considerar el opuesto de la derivada con respecto al $\alpha$ de ambos lados, seguido por una evaluación del límite de $\alpha\to 1^+$.